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Theorem istopxc 25548
Description: Product of  I topology  J. (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
istopxc.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
istopxc  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  (  topX  `  F
)  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  ( X  ^m  I )  /\  A. i  e.  I  ( ( X  ^m  I )  pr  i )  e.  ( t  Cn  J ) ) } )
Distinct variable groups:    t, i, F    t, I, i    t, J, i    t, A, i
Allowed substitution hints:    X( t, i)

Proof of Theorem istopxc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 3759 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  { J }  C_  Top )
2 fss 5397 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  { J }  C_ 
Top )  ->  F : I --> Top )
31, 2sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  J  e.  Top )  ->  F : I --> Top )
433adant2 974 . . 3  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  F : I --> Top )
5 simp2 956 . . 3  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  I  e.  A
)
6 istopx 25547 . . 3  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) } )
74, 5, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  (  topX  `  F
)  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) } )
8 fvconst 5708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  =  J )
98unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  x  e.  I
)  ->  U. ( F `  x )  =  U. J )
10 istopxc.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. J
119, 10syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  x  e.  I
)  ->  U. ( F `  x )  =  X )
1211ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( F : I --> { J }  ->  A. x  e.  I  U. ( F `  x
)  =  X )
13123ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  A. x  e.  I  U. ( F `  x
)  =  X )
14 ixpeq2 6830 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  U. ( F `  x )  =  X  ->  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  I  X )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  =  X_ x  e.  I  X )
16 uniexg 4517 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
1710, 16syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  _V )
18 ixpconstg 6825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  A  /\  X  e.  _V )  -> 
X_ x  e.  I  X  =  ( X  ^m  I ) )
1917, 18sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  A  /\  J  e.  Top )  -> 
X_ x  e.  I  X  =  ( X  ^m  I ) )
20193adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  X_ x  e.  I  X  =  ( X  ^m  I ) )
2115, 20eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  =  ( X  ^m  I ) )
2221eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  <->  U. t  =  ( X  ^m  I ) ) )
2313adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  /\  i  e.  I
)  ->  A. x  e.  I  U. ( F `  x )  =  X )
2423, 14syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  /\  i  e.  I
)  ->  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  = 
X_ x  e.  I  X )
2520adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  /\  i  e.  I
)  ->  X_ x  e.  I  X  =  ( X  ^m  I ) )
2624, 25eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  /\  i  e.  I
)  ->  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  =  ( X  ^m  I
) )
2726oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  /\  i  e.  I
)  ->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  =  ( ( X  ^m  I )  pr  i
) )
28 fvconst 5708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  i  e.  I
)  ->  ( F `  i )  =  J )
29283ad2antl1 1117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  /\  i  e.  I
)  ->  ( F `  i )  =  J )
3029oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  /\  i  e.  I
)  ->  ( t  Cn  ( F `  i
) )  =  ( t  Cn  J ) )
3127, 30eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  /\  i  e.  I
)  ->  ( ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
)  <->  ( ( X  ^m  I )  pr  i )  e.  ( t  Cn  J ) ) )
3231ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
)  <->  A. i  e.  I 
( ( X  ^m  I )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  J ) ) )
3322, 32anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) ) )  <->  ( U. t  =  ( X  ^m  I )  /\  A. i  e.  I  (
( X  ^m  I
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  J ) ) ) )
3433rabbidv 2780 . . 3  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  { t  e. 
Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) ) ) }  =  { t  e. 
Top  |  ( U. t  =  ( X  ^m  I )  /\  A. i  e.  I  (
( X  ^m  I
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  J ) ) } )
3534inteqd 3867 . 2  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  |^| { t  e. 
Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) ) ) }  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  ( X  ^m  I )  /\  A. i  e.  I  ( ( X  ^m  I )  pr  i )  e.  ( t  Cn  J ) ) } )
367, 35eqtrd 2315 1  |-  ( ( F : I --> { J }  /\  I  e.  A  /\  J  e.  Top )  ->  (  topX  `  F
)  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  ( X  ^m  I )  /\  A. i  e.  I  ( ( X  ^m  I )  pr  i )  e.  ( t  Cn  J ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   |^|cint 3862   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   X_cixp 6817   Topctop 16631    Cn ccn 16954    pr cpro 25150    topX ctopx 25544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-ixp 6818  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-pro 25152  df-prtop 25545
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