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Theorem istos 14141
Description: The predicate "is a toset." (Contributed by FL, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
istos.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
istos.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
istos  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x,  .<_ , y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem istos
Dummy variables  f 
b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  =  ( le `  K
) )
2 dfsbcq 2993 . . . . . 6  |-  ( ( le `  f )  =  ( le `  K )  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) ) )
43sbcbidv 3045 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x ) ) )
5 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
6 dfsbcq 2993 . . . . 5  |-  ( (
Base `  f )  =  ( Base `  K
)  ->  ( [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x ) ) )
84, 7bitrd 244 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x ) ) )
9 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
10 fvex 5539 . . . 4  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
11 istos.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 eqtr 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  ( Base `  K )  =  B )  ->  b  =  B )
13 istos.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  ( le `  K )  =  .<_  )  ->  r  =  .<_  )
15 breq 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r y  <->  x  .<_  y ) )
16 breq 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r x  <->  y  .<_  x ) )
1715, 16orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  \/  y r x )  <-> 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
18172ralbidv 2585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  (
x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
19 raleq 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
2019raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
2118, 20sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  =  .<_  /\  b  =  B )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
2221ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  .<_  ->  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) )
2314, 22syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  ( le `  K )  =  .<_  )  ->  ( b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
2423expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( le `  K )  =  .<_  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  (
b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) ) )
2524eqcoms 2286 . . . . . . . . . 10  |-  (  .<_  =  ( le `  K )  ->  (
r  =  ( le
`  K )  -> 
( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x
r y  \/  y
r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) ) )
2613, 25ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  (
b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
2712, 26syl5com 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  ( Base `  K )  =  B )  ->  (
r  =  ( le
`  K )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
2827expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  K )  =  B  ->  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) ) )
2928eqcoms 2286 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) ) )
3011, 29ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) )
3130imp 418 . . . 4  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  r  =  ( le `  K ) )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
329, 10, 31sbc2ie 3058 . . 3  |-  ( [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
338, 32syl6bb 252 . 2  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
34 df-toset 14140 . 2  |- Toset  =  {
f  e.  Poset  |  [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) }
3533, 34elrab2 2925 1  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   [.wsbc 2991   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074  Tosetctos 14139
This theorem is referenced by:  tosso  14142  zntoslem  16510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-toset 14140
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