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Theorem istotbnd 26469
Description: The predicate "is a totally bounded metric space". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
istotbnd  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Distinct variable groups:    b, d,
v, x, M    X, b, d, v, x

Proof of Theorem istotbnd
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5750 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  X  e.  _V )
2 elfvex 5750 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  _V )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )  ->  X  e.  _V )
4 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( Met `  y )  =  ( Met `  X
) )
5 eqeq2 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( U. v  =  y  <->  U. v  =  X ) )
6 rexeq 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( E. x  e.  y 
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) )
76ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  y 
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) )
85, 7anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) ) )
98rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) )  <->  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) ) ) )
109ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d ) ) ) )
114, 10rabeqbidv 2943 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  { m  e.  ( Met `  y
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  =  {
m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } )
12 df-totbnd 26468 . . . . 5  |-  TotBnd  =  ( y  e.  _V  |->  { m  e.  ( Met `  y )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  y  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  y  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } )
13 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( Met `  X )  e.  _V
1413rabex 4346 . . . . 5  |-  { m  e.  ( Met `  X
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  e.  _V
1511, 12, 14fvmpt 5798 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( TotBnd `
 X )  =  { m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) ) } )
1615eleq2d 2502 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  X )  <->  M  e.  { m  e.  ( Met `  X )  |  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) } ) )
17 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ball `  m )  =  ( ball `  M
) )
1817oveqd 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
x ( ball `  m
) d )  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
1918eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
b  =  ( x ( ball `  m
) d )  <->  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2019rexbidv 2718 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d )  <->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2120ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  m )
d )  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2221anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2322rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m
) d ) )  <->  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M
) d ) ) ) )
2423ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
2524elrab 3084 . . 3  |-  ( M  e.  { m  e.  ( Met `  X
)  |  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  m ) d ) ) }  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2616, 25syl6bb 253 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( M  e.  ( TotBnd `  X )  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) ) )
271, 3, 26pm5.21nii 343 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( U. v  =  X  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948   U.cuni 4007   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   RR+crp 10604   Metcme 16679   ballcbl 16680   TotBndctotbnd 26466
This theorem is referenced by:  istotbnd2  26470  istotbnd3  26471  totbndmet  26472  totbndss  26477  heibor1  26510  heibor  26521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-totbnd 26468
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