Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  istotbnd3 Structured version   Unicode version

Theorem istotbnd3 26461
 Description: A metric space is totally bounded iff there is a finite ε-net for every positive ε. This differs from the definition in providing a finite set of ball centers rather than a finite set of balls. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
istotbnd3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem istotbnd3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 26459 . 2
2 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12
32eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11
43ac6sfi 7343 . . . . . . . . . 10
54ex 424 . . . . . . . . 9
65ad2antlr 708 . . . . . . . 8
7 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13
8 frn 5589 . . . . . . . . . . . . 13
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . 12
10 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13
11 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15
127, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
13 dffn4 5651 . . . . . . . . . . . . . 14
1412, 13sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
15 fofi 7384 . . . . . . . . . . . . 13
1610, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
17 elfpw 7400 . . . . . . . . . . . 12
189, 16, 17sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
192eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019rexrn 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15
2112, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
22 eliun 4089 . . . . . . . . . . . . . 14
23 eliun 4089 . . . . . . . . . . . . . 14
2421, 22, 233bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . 13
2524eqrdv 2433 . . . . . . . . . . . 12
26 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13
27 iuneq2 4101 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12
29 uniiun 4136 . . . . . . . . . . . . 13
30 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13
3129, 30syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . 12
3225, 28, 313eqtr2d 2473 . . . . . . . . . . 11
33 iuneq1 4098 . . . . . . . . . . . . 13
3433eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12
3534rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11
3618, 32, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
3736expr 599 . . . . . . . . 9
3837exlimdv 1646 . . . . . . . 8
396, 38syld 42 . . . . . . 7
4039expimpd 587 . . . . . 6
4140rexlimdva 2822 . . . . 5
42 elfpw 7400 . . . . . . . . . . 11
4342simprbi 451 . . . . . . . . . 10
4443ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
45 mptfi 7398 . . . . . . . . 9
46 rnfi 7383 . . . . . . . . 9
4744, 45, 463syl 19 . . . . . . . 8
48 ovex 6098 . . . . . . . . . 10
4948dfiun3 5116 . . . . . . . . 9
50 simprr 734 . . . . . . . . 9
5149, 50syl5eqr 2481 . . . . . . . 8
52 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
5352rnmpt 5108 . . . . . . . . 9
5442simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12
5554ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11
56 ssrexv 3400 . . . . . . . . . . 11
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10
5857ss2abdv 3408 . . . . . . . . 9
5953, 58syl5eqss 3384 . . . . . . . 8
60 unieq 4016 . . . . . . . . . . 11
6160eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10
62 ssabral 3406 . . . . . . . . . . 11
63 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl5bbr 251 . . . . . . . . . 10
6561, 64anbi12d 692 . . . . . . . . 9
6665rspcev 3044 . . . . . . . 8
6747, 51, 59, 66syl12anc 1182 . . . . . . 7
6867expr 599 . . . . . 6
6968rexlimdva 2822 . . . . 5
7041, 69impbid 184 . . . 4
7170ralbidv 2717 . . 3
7271pm5.32i 619 . 2
731, 72bitri 241 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007  ciun 4085   cmpt 4258   crn 4871   wfn 5441  wf 5442  wfo 5444  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  crp 10604  cme 16679  cbl 16680  ctotbnd 26456 This theorem is referenced by:  0totbnd  26463  sstotbnd2  26464  equivtotbnd  26468  totbndbnd  26479  prdstotbnd  26484 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-totbnd 26458
 Copyright terms: Public domain W3C validator