MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istps Structured version   Unicode version

Theorem istps 17001
Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
istps.a  |-  A  =  ( Base `  K
)
istps.j  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
Assertion
Ref Expression
istps  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  A ) )

Proof of Theorem istps
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-topsp 16967 . . 3  |-  TopSp  =  {
f  |  ( TopOpen `  f )  e.  (TopOn `  ( Base `  f
) ) }
21eleq2i 2500 . 2  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  K  e.  { f  |  ( TopOpen `  f
)  e.  (TopOn `  ( Base `  f )
) } )
3 topontop 16991 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  e.  Top )
4 0ntop 16978 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  Top
5 istps.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
6 fvprc 5722 . . . . . . . 8  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
TopOpen `  K )  =  (/) )
75, 6syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  J  =  (/) )
87eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( J  e.  Top  <->  (/)  e.  Top ) )
94, 8mtbiri 295 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  -.  J  e.  Top )
109con4i 124 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  K  e.  _V )
113, 10syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  _V )
12 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( TopOpen
`  f )  =  ( TopOpen `  K )
)
1312, 5syl6eqr 2486 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( TopOpen
`  f )  =  J )
14 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
15 istps.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Base `  K
)
1614, 15syl6eqr 2486 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  A )
1716fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  (TopOn `  ( Base `  f
) )  =  (TopOn `  A ) )
1813, 17eleq12d 2504 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  (
( TopOpen `  f )  e.  (TopOn `  ( Base `  f ) )  <->  J  e.  (TopOn `  A ) ) )
1911, 18elab3 3089 . 2  |-  ( K  e.  { f  |  ( TopOpen `  f )  e.  (TopOn `  ( Base `  f ) ) }  <-> 
J  e.  (TopOn `  A ) )
202, 19bitri 241 1  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   ` cfv 5454   Basecbs 13469   TopOpenctopn 13649   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   TopSpctps 16961
This theorem is referenced by:  istps2  17002  tpspropd  17005  tsettps  17008  indistps2ALT  17078  resstps  17251  prdstps  17661  imastps  17753  xpstopnlem2  17843  tmdtopon  18111  tgptopon  18112  istgp2  18121  oppgtmd  18127  distgp  18129  indistgp  18130  symgtgp  18131  divstgplem  18150  prdstmdd  18153  eltsms  18162  tsmscls  18167  tsmsgsum  18168  tsmsid  18169  tsmsmhm  18175  tsmsadd  18176  dvrcn  18213  cnmpt1vsca  18223  cnmpt2vsca  18224  tlmtgp  18225  ressusp  18295  tustps  18303  ucncn  18315  neipcfilu  18326  cnextucn  18333  ucnextcn  18334  isxms2  18478  ressxms  18555  prdsxmslem2  18559  nrgtrg  18725  cnfldtopon  18817  cnmpt1ds  18873  cnmpt2ds  18874  nmcn  18875  cnmpt1ip  19201  cnmpt2ip  19202  csscld  19203  clsocv  19204  minveclem4a  19331  mhmhmeotmd  24313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-top 16963  df-topon 16966  df-topsp 16967
  Copyright terms: Public domain W3C validator