Theorem istps3 7550

Description: A standard textbook definition of a topological space.

Assertion

Ref	Expression
istps3	|- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,J,y

Proof of Theorem istps3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps2 7549	. 2 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)))
2		anass 439	. 2 |- (((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)) <-> (J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))))
3		ancom 435	. . 3 |- ((J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))) <-> ((J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)) /\ J e. Top))
4		3anass 777	. . . 4 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) <-> (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)))
5	4	anbi1i 480	. . 3 |- (((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ J e. Top) <-> ((J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)) /\ J e. Top))
6		ssexg 2711	. . . . . . 7 |- ((J (_ P~A /\ P~A e. V) -> J e. V)
7		pwexg 2736	. . . . . . 7 |- (A e. J -> P~A e. V)
8	6, 7	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((J (_ P~A /\ A e. J) -> J e. V)
9	8	3adant2 796	. . . . 5 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) -> J e. V)
10		istopg 7538	. . . . 5 |- (J e. V -> (J e. Top <-> (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
11	9, 10	syl 10	. . . 4 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) -> (J e. Top <-> (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
12	11	pm5.32i 643	. . 3 |- (((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ J e. Top) <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
13	3, 5, 12	3bitr2 179	. 2 |- ((J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))) <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
14	1, 2, 13	3bitr 177	1 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773  A.wal 951   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802   i^i cin 2036   (_ wss 2037  (/)c0 2270  P~cpw 2391  <.cop 2401  U.cuni 2493  Topctop 7530  TopSpctps 7531

This theorem is referenced by:  istps4 7551

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-top 7534  df-topsp 7535

Copyright terms: Public domain