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Theorem isucn 18300
Description: The predicate " F is a uniformly continuous function from uniform space  U to uniform space  V." (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
isucn  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, y, F    U, r,
s, x, y    V, r, s, x    X, r, s, x, y    Y, r, s, x
Allowed substitution hints:    V( y)    Y( y)

Proof of Theorem isucn
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ucnval 18299 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( U Cnu V
)  =  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( f `  x
) s ( f `
 y ) ) } )
21eleq2d 2502 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) ) } ) )
3 fveq1 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
53, 4breq12d 4217 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) s ( f `
 y )  <->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) )
65imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
76ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
87rexralbidv 2741 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
98ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( f `  x ) s ( f `  y ) )  <->  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
109elrab 3084 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  (
f `  x )
s ( f `  y ) ) }  <-> 
( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x r y  ->  ( F `  x ) s ( F `  y ) ) ) )
112, 10syl6bb 253 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
12 elfvex 5750 . . . 4  |-  ( V  e.  (UnifOn `  Y
)  ->  Y  e.  _V )
13 elfvex 5750 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
14 elmapg 7023 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
1512, 13, 14syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1615anbi1d 686 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x
r y  ->  ( F `  x )
s ( F `  y ) ) ) ) )
1711, 16bitrd 245 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  V  e.  (UnifOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U Cnu V )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. s  e.  V  E. r  e.  U  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x r y  -> 
( F `  x
) s ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010  UnifOncust 18221   Cnucucn 18297
This theorem is referenced by:  isucn2  18301  ucnima  18303  iducn  18305  cstucnd  18306  ucncn  18307  fmucnd  18314  ucnextcn  18326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-ust 18222  df-ucn 18298
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