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Theorem isufil2 17619
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem isufil2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17615 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 ufilmax 17618 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
)  ->  F  =  f )
323expia 1153 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )
43ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )
51, 4jca 518 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
6 simpl 443 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
7 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
8 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  C_  ( F  u.  { x } )
9 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
10 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x }  e.  _V
11 unexg 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
x }  e.  _V )  ->  ( F  u.  { x } )  e. 
_V )
129, 10, 11sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  e. 
_V )
13 ssfii 7188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  u.  { x } )  e.  _V  ->  ( F  u.  {
x } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )
15 filsspw 17562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  C_  ~P X )
17 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
1817elpw 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
1918biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
C_  X  ->  x  e.  ~P X )
2019ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ~P X
)
2120snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  { x }  C_  ~P X )
2216, 21unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ~P X )
23 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x }  C_  ( F  u.  { x } )
2417snnz 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x }  =/=  (/)
25 ssn0 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { x }  C_  ( F  u.  { x } )  /\  {
x }  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  =/=  (/) )
2623, 24, 25mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  u.  { x }
)  =/=  (/)
2726a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  =/=  (/) )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/) )
29 ineq2 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  x  ->  (
y  i^i  f )  =  ( y  i^i  x ) )
3029neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  x  ->  (
( y  i^i  f
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =/=  (/) ) )
3117, 30ralsn 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
3231ralbii 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/)  <->  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
3328, 32sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/) )
34 filfbas 17559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
3534ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
36 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  C_  X )
37 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X  i^i  x )  C_  x
38 filtop 17566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  X  e.  F )
40 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  X  ->  (
y  i^i  x )  =  ( X  i^i  x ) )
4140neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  X  ->  (
( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( X  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4241rspcva 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  F  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  x )  =/=  (/) )
4339, 42sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( X  i^i  x
)  =/=  (/) )
44 ssn0 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  i^i  x
)  C_  x  /\  ( X  i^i  x
)  =/=  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
4537, 43, 44sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
4638ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  X  e.  F )
47 snfbas 17577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  X  /\  x  =/=  (/)  /\  X  e.  F )  ->  { x }  e.  ( fBas `  X ) )
4836, 45, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  { x }  e.  ( fBas `  X )
)
49 fbunfip 17580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
x }  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  <->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  (
y  i^i  f )  =/=  (/) ) )
5035, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  <->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  (
y  i^i  f )  =/=  (/) ) )
5133, 50mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )
52 fsubbas 17578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { x }
)  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
5346, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { x }
)  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
5422, 27, 51, 53mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
) )
55 ssfg 17583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
5714, 56sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
588, 57syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) )
59 fgcl 17589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
60 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( F  C_  f  <->  F 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
61 eqeq2 2305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( F  =  f  <-> 
F  =  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) )
6260, 61imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( ( F  C_  f  ->  F  =  f )  <->  ( F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6362rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f )  -> 
( F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6454, 59, 633syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6558, 64mpid 37 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) )
6617snid 3680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
{ x }
6723, 66sselii 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e.  ( F  u.  {
x } )
6867a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( F  u.  { x } ) )
6957, 68sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
70 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( x  e.  F  <->  x  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
7169, 70syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  x  e.  F
) )
7265, 71syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  x  e.  F ) )
7372impancom 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  ( A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
7473an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
7574con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) ) )
76 rexnal 2567 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  F  -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
77 nne 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =  (/) )
78 filelss 17563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
79 reldisj 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  X  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  x
) ) )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  x
) ) )
81 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
\  x )  C_  X
82 filss 17564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  ( X  \  x
)  C_  X  /\  y  C_  ( X  \  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  e.  F
)
83823exp2 1169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( ( X  \  x ) 
C_  X  ->  (
y  C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) ) ) )
8481, 83mpii 39 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( y 
C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
8584imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8680, 85sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8777, 86syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8887rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. y  e.  F  -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8976, 88syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F
) )
9089ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
9175, 90syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9291orrd 367 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
937, 92sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9493ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X 
\  x )  e.  F ) )
95 isufil 17614 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
966, 94, 95sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  F  e.  (
UFil `  X )
)
975, 96impbii 180 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ficfi 7180   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556   UFilcufil 17610
This theorem is referenced by:  filssufilg  17622  fmufil  17670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-ufil 17612
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