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Theorem isufil2 17942
Description: The maximal property of an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 30-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isufil2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem isufil2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17938 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 ufilmax 17941 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
)  ->  F  =  f )
323expia 1156 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )
43ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )
51, 4jca 520 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
6 simpl 445 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
7 elpwi 3809 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
8 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
9 snex 4407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x }  e.  _V
10 unexg 4712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
x }  e.  _V )  ->  ( F  u.  { x } )  e. 
_V )
118, 9, 10sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  e. 
_V )
12 ssfii 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  u.  { x } )  e.  _V  ->  ( F  u.  {
x } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )
14 filsspw 17885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
1514ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  C_  ~P X )
16 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
1716elpw 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
1817biimpri 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
C_  X  ->  x  e.  ~P X )
1918ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ~P X
)
2019snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  { x }  C_  ~P X )
2115, 20unssd 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ~P X )
22 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x }  C_  ( F  u.  { x } )
2316snnz 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x }  =/=  (/)
24 ssn0 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { x }  C_  ( F  u.  { x } )  /\  {
x }  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  =/=  (/) )
2522, 23, 24mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  u.  { x }
)  =/=  (/)
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  =/=  (/) )
27 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/) )
28 ineq2 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  x  ->  (
y  i^i  f )  =  ( y  i^i  x ) )
2928neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  x  ->  (
( y  i^i  f
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =/=  (/) ) )
3016, 29ralsn 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
3130ralbii 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/)  <->  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
3227, 31sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  ( y  i^i  f )  =/=  (/) )
33 filfbas 17882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
3433ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
35 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  C_  X )
36 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X  i^i  x )  C_  x
37 filtop 17889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
3837adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  X  e.  F )
39 ineq1 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  X  ->  (
y  i^i  x )  =  ( X  i^i  x ) )
4039neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  X  ->  (
( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( X  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4140rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  F  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  x )  =/=  (/) )
4238, 41sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( X  i^i  x
)  =/=  (/) )
43 ssn0 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  i^i  x
)  C_  x  /\  ( X  i^i  x
)  =/=  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
4436, 42, 43sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
4537ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  X  e.  F )
46 snfbas 17900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  X  /\  x  =/=  (/)  /\  X  e.  F )  ->  { x }  e.  ( fBas `  X ) )
4735, 44, 45, 46syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  { x }  e.  ( fBas `  X )
)
48 fbunfip 17903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
x }  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  <->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  (
y  i^i  f )  =/=  (/) ) )
4934, 47, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  <->  A. y  e.  F  A. f  e.  { x }  (
y  i^i  f )  =/=  (/) ) )
5032, 49mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )
51 fsubbas 17901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { x }
)  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
5245, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { x }
)  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
x } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
5321, 26, 50, 52mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  e.  ( fBas `  X
) )
54 ssfg 17906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { x } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
5613, 55sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
x } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
5756unssad 3526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) )
58 fgcl 17912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { x }
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
59 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( F  C_  f  <->  F 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
60 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( F  =  f  <-> 
F  =  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) )
6159, 60imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( ( F  C_  f  ->  F  =  f )  <->  ( F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6261rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f )  -> 
( F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6353, 58, 623syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) ) )
6457, 63mpid 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) ) )
6516snid 3843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
{ x }
6622, 65sselii 3347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e.  ( F  u.  {
x } )
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( F  u.  { x } ) )
6856, 67sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  ->  x  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) ) )
69 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) )  -> 
( x  e.  F  <->  x  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x }
) ) ) ) )
7068, 69syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( F  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { x } ) ) )  ->  x  e.  F
) )
7164, 70syld 43 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f )  ->  x  e.  F ) )
7271impancom 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  ( A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
7372an32s 781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
7473con3d 128 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) ) )
75 rexnal 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  F  -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/) )
76 nne 2607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  x )  =  (/) )
77 filelss 17886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
78 reldisj 3673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  X  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  x
) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  <->  y  C_  ( X  \  x
) ) )
80 difss 3476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
\  x )  C_  X
81 filss 17887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  ( X  \  x
)  C_  X  /\  y  C_  ( X  \  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  e.  F
)
82813exp2 1172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( ( X  \  x ) 
C_  X  ->  (
y  C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) ) ) )
8380, 82mpii 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( y 
C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
8483imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  ( X  \  x )  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8579, 84sylbid 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  (
( y  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8676, 85syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8786rexlimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. y  e.  F  -.  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
8875, 87syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F
) )
8988ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  A. y  e.  F  ( y  i^i  x
)  =/=  (/)  ->  ( X  \  x )  e.  F ) )
9074, 89syld 43 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9190orrd 369 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
927, 91sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
9392ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X 
\  x )  e.  F ) )
94 isufil 17937 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
956, 93, 94sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  f  ->  F  =  f ) )  ->  F  e.  (
UFil `  X )
)
965, 95impbii 182 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  f  ->  F  =  f ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ficfi 7417   fBascfbas 16691   filGencfg 16692   Filcfil 17879   UFilcufil 17933
This theorem is referenced by:  filssufilg  17945  fmufil  17993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-fil 17880  df-ufil 17935
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