MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumcl Unicode version

Theorem isumcl 12472
Description: The sum of a converging infinite series is a complex number. (Contributed by NM, 13-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumcl.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumcl.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumcl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
isumcl.5  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumcl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  e.  CC )
Distinct variable groups:    k, F    ph, k    k, Z    k, M
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem isumcl
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumcl.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumcl.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumcl.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
51, 2, 3, 4isum 12440 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  =  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
6 fclim 12274 . . 3  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
7 isumcl.5 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
8 ffvelrn 5807 . . 3  |-  ( (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC  /\  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )  ->  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) )  e.  CC )
96, 7, 8sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F ) )  e.  CC )
105, 9eqeltrd 2461 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   dom cdm 4818   -->wf 5390   ` cfv 5394   CCcc 8921    + caddc 8926   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420    seq cseq 11250    ~~> cli 12205   sum_csu 12406
This theorem is referenced by:  isummulc1  12474  isumdivc  12475  geolim2  12575  mertenslem1  12588  mertenslem2  12589  mertens  12590  eff  12611  eftlcl  12635  pserulm  20205  abelthlem4  20217  abelthlem6  20219  abelthlem7  20221  abelthlem9  20223  subfaclim  24653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407
  Copyright terms: Public domain W3C validator