MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumle Structured version   Unicode version

Theorem isumle 12624
Description: Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumle.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumle.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumle.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumle.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  B )
isumle.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
isumle.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  <_  B )
isumle.8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
isumle.9  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem isumle
StepHypRef Expression
1 isumle.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumle.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumle.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
4 climdm 12348 . . . 4  |-  (  seq 
M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  F
)  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
53, 4sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
6 isumle.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
7 climdm 12348 . . . 4  |-  (  seq 
M (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  M (  +  ,  G
)  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  G
) ) )
86, 7sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  ~~>  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  G
) ) )
9 isumle.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
10 isumle.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
119, 10eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
12 isumle.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  B )
13 isumle.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
15 isumle.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  <_  B )
1615, 9, 123brtr4d 4242 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  <_  ( G `  k
) )
171, 2, 5, 8, 11, 14, 16iserle 12453 . 2  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F ) )  <_  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  G
) ) )
1810recnd 9114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
191, 2, 9, 18isum 12513 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  =  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  F
) ) )
2013recnd 9114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
211, 2, 12, 20isum 12513 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  =  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  G
) ) )
2217, 19, 213brtr4d 4242 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  A  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ` cfv 5454   RRcr 8989    + caddc 8993    <_ cle 9121   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    seq cseq 11323    ~~> cli 12278   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  isumless  12625  eftlub  12710  eflegeo  12722  rpnnen2lem7  12820  aaliou3lem3  20261  abelthlem7  20354  log2tlbnd  20785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator