MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Unicode version

Theorem isumless 12304
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumless.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumless.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
isumless.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
isumless.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
isumless.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
isumless.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
isumless.8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumless  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem isumless
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
21sselda 3180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  Z )
3 isumless.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
52, 4syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7 isumless.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
87eqimssi 3232 . . . . 5  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
98orci 379 . . . 4  |-  ( Z 
C_  ( ZZ>= `  M
)  \/  Z  e. 
Fin )
109a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)
11 sumss2 12199 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  Z  /\  A. k  e.  A  B  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
121, 6, 10, 11syl21anc 1181 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
13 isumless.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
14 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
15 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
16 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  0  =  0 )
1714, 15, 16ifbieq12d 3587 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 ) )
18 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )
19 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
20 c0ex 8832 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
2119, 20ifex 3623 . . . . . 6  |-  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 )  e.  _V
2217, 18, 21fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
2322adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
24 isumless.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
2524ifeq1d 3579 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2623, 25eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
27 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
28 ifcl 3601 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  RR )
293, 27, 28sylancl 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR )
30 isumless.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
31 leid 8916 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
32 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( B  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
33 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
3432, 33ifboth 3596 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  B  /\  0  <_  B )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
3531, 34sylan 457 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
363, 30, 35syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
37 isumless.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
387, 13, 37, 1, 26, 5fsumcvg3 12202 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
39 isumless.8 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
407, 13, 26, 29, 24, 3, 36, 38, 39isumle 12303 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  sum_ k  e.  Z  B )
4112, 40eqbrtrd 4043 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ` cfv 5255   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  isumltss  12307  climcnds  12310  harmonic  12317  mertenslem1  12340  prmreclem5  12967  ovoliunlem1  18861  ovoliun2  18865  esumpcvgval  23446  geomcau  26475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator