MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Structured version   Unicode version

Theorem isumless 12625
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumless.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumless.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
isumless.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
isumless.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
isumless.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
isumless.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
isumless.8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumless  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem isumless
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
21sselda 3348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  Z )
3 isumless.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43recnd 9114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
52, 4syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7 isumless.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
87eqimssi 3402 . . . . 5  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
98orci 380 . . . 4  |-  ( Z 
C_  ( ZZ>= `  M
)  \/  Z  e. 
Fin )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)
11 sumss2 12520 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  Z  /\  A. k  e.  A  B  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
121, 6, 10, 11syl21anc 1183 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
13 isumless.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
14 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
15 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
16 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  0  =  0 )
1714, 15, 16ifbieq12d 3761 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 ) )
18 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )
19 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
20 c0ex 9085 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
2119, 20ifex 3797 . . . . . 6  |-  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 )  e.  _V
2217, 18, 21fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
2322adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
24 isumless.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
2524ifeq1d 3753 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2623, 25eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
27 0re 9091 . . . 4  |-  0  e.  RR
28 ifcl 3775 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  RR )
293, 27, 28sylancl 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR )
30 isumless.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
31 leid 9169 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
32 breq1 4215 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( B  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
33 breq1 4215 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
3432, 33ifboth 3770 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  B  /\  0  <_  B )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
3531, 34sylan 458 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
363, 30, 35syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
37 isumless.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
387, 13, 37, 1, 26, 5fsumcvg3 12523 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
39 isumless.8 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
407, 13, 26, 29, 24, 3, 36, 38, 39isumle 12624 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  sum_ k  e.  Z  B )
4112, 40eqbrtrd 4232 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    <_ cle 9121   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    seq cseq 11323    ~~> cli 12278   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  isumltss  12628  climcnds  12631  harmonic  12638  mertenslem1  12661  prmreclem5  13288  ovoliunlem1  19398  ovoliun2  19402  esumpcvgval  24468  geomcau  26465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator