Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Structured version   Unicode version

Theorem isumless 12625
 Description: A finite sum of nonnegative numbers is less or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1
isumless.2
isumless.3
isumless.4
isumless.5
isumless.6
isumless.7
isumless.8
Assertion
Ref Expression
isumless
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isumless
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3
21sselda 3348 . . . . 5
3 isumless.6 . . . . . 6
43recnd 9114 . . . . 5
52, 4syldan 457 . . . 4
65ralrimiva 2789 . . 3
7 isumless.1 . . . . . 6
87eqimssi 3402 . . . . 5
98orci 380 . . . 4
109a1i 11 . . 3
11 sumss2 12520 . . 3
121, 6, 10, 11syl21anc 1183 . 2
13 isumless.2 . . 3
14 eleq1 2496 . . . . . . 7
15 fveq2 5728 . . . . . . 7
16 eqidd 2437 . . . . . . 7
1714, 15, 16ifbieq12d 3761 . . . . . 6
18 eqid 2436 . . . . . 6
19 fvex 5742 . . . . . . 7
20 c0ex 9085 . . . . . . 7
2119, 20ifex 3797 . . . . . 6
2217, 18, 21fvmpt 5806 . . . . 5
2322adantl 453 . . . 4
24 isumless.5 . . . . 5
2524ifeq1d 3753 . . . 4
2623, 25eqtrd 2468 . . 3
27 0re 9091 . . . 4
28 ifcl 3775 . . . 4
293, 27, 28sylancl 644 . . 3
30 isumless.7 . . . 4
31 leid 9169 . . . . 5
32 breq1 4215 . . . . . 6
33 breq1 4215 . . . . . 6
3432, 33ifboth 3770 . . . . 5
3531, 34sylan 458 . . . 4
363, 30, 35syl2anc 643 . . 3
37 isumless.3 . . . 4
387, 13, 37, 1, 26, 5fsumcvg3 12523 . . 3
39 isumless.8 . . 3
407, 13, 26, 29, 24, 3, 36, 38, 39isumle 12624 . 2
4112, 40eqbrtrd 4232 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   wss 3320  cif 3739   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cdm 4878  cfv 5454  cfn 7109  cc 8988  cr 8989  cc0 8990   caddc 8993   cle 9121  cz 10282  cuz 10488   cseq 11323   cli 12278  csu 12479 This theorem is referenced by:  isumltss  12628  climcnds  12631  harmonic  12638  mertenslem1  12661  prmreclem5  13288  ovoliunlem1  19398  ovoliun2  19402  esumpcvgval  24468  geomcau  26465 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480
 Copyright terms: Public domain W3C validator