MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Unicode version

Theorem isumless 12351
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumless.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumless.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
isumless.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
isumless.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
isumless.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
isumless.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
isumless.8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumless  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem isumless
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
21sselda 3214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  Z )
3 isumless.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
43recnd 8906 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
52, 4syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65ralrimiva 2660 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7 isumless.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
87eqimssi 3266 . . . . 5  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
98orci 379 . . . 4  |-  ( Z 
C_  ( ZZ>= `  M
)  \/  Z  e. 
Fin )
109a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)
11 sumss2 12246 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  Z  /\  A. k  e.  A  B  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
121, 6, 10, 11syl21anc 1181 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
13 isumless.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
14 eleq1 2376 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
15 fveq2 5563 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
16 eqidd 2317 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  0  =  0 )
1714, 15, 16ifbieq12d 3621 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 ) )
18 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )
19 fvex 5577 . . . . . . 7  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
20 c0ex 8877 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
2119, 20ifex 3657 . . . . . 6  |-  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 )  e.  _V
2217, 18, 21fvmpt 5640 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
2322adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
24 isumless.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
2524ifeq1d 3613 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2623, 25eqtrd 2348 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
27 0re 8883 . . . 4  |-  0  e.  RR
28 ifcl 3635 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  RR )
293, 27, 28sylancl 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR )
30 isumless.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
31 leid 8961 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
32 breq1 4063 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( B  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
33 breq1 4063 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
3432, 33ifboth 3630 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  B  /\  0  <_  B )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
3531, 34sylan 457 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
363, 30, 35syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
37 isumless.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
387, 13, 37, 1, 26, 5fsumcvg3 12249 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
39 isumless.8 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
407, 13, 26, 29, 24, 3, 36, 38, 39isumle 12350 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  sum_ k  e.  Z  B )
4112, 40eqbrtrd 4080 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   ifcif 3599   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   dom cdm 4726   ` cfv 5292   Fincfn 6906   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782    + caddc 8785    <_ cle 8913   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277    seq cseq 11093    ~~> cli 12005   sum_csu 12205
This theorem is referenced by:  isumltss  12354  climcnds  12357  harmonic  12364  mertenslem1  12387  prmreclem5  13014  ovoliunlem1  18914  ovoliun2  18918  esumpcvgval  23644  geomcau  25624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206
  Copyright terms: Public domain W3C validator