Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumltss Unicode version

Theorem isumltss 12398
 Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isumltss.1
isumltss.2
isumltss.3
isumltss.4
isumltss.5
isumltss.6
isumltss.7
Assertion
Ref Expression
isumltss
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isumltss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumltss.2 . . . . 5
2 isumltss.1 . . . . . 6
32uzinf 11117 . . . . 5
41, 3syl 15 . . . 4
5 ssdif0 3589 . . . . 5
6 isumltss.4 . . . . . 6
7 eqss 3270 . . . . . . 7
8 isumltss.3 . . . . . . . 8
9 eleq1 2418 . . . . . . . 8
108, 9syl5ibcom 211 . . . . . . 7
117, 10syl5bir 209 . . . . . 6
126, 11mpand 656 . . . . 5
135, 12syl5bir 209 . . . 4
144, 13mtod 168 . . 3
15 neq0 3541 . . 3
1614, 15sylib 188 . 2
178adantr 451 . . . . . 6
186adantr 451 . . . . . . . 8
1918sselda 3256 . . . . . . 7
20 isumltss.6 . . . . . . . . 9
2120adantlr 695 . . . . . . . 8
2221rpred 10479 . . . . . . 7
2319, 22syldan 456 . . . . . 6
2417, 23fsumrecl 12298 . . . . 5
25 snfi 7026 . . . . . . 7
26 unfi 7211 . . . . . . 7
2717, 25, 26sylancl 643 . . . . . 6
28 eldifi 3374 . . . . . . . . . . 11
2928snssd 3839 . . . . . . . . . 10
306, 29anim12i 549 . . . . . . . . 9
31 unss 3425 . . . . . . . . 9
3230, 31sylib 188 . . . . . . . 8
3332sselda 3256 . . . . . . 7
3433, 22syldan 456 . . . . . 6
3527, 34fsumrecl 12298 . . . . 5
361adantr 451 . . . . . 6
37 isumltss.5 . . . . . . 7
3837adantlr 695 . . . . . 6
39 isumltss.7 . . . . . . 7
4039adantr 451 . . . . . 6
412, 36, 38, 22, 40isumrecl 12319 . . . . 5
4225a1i 10 . . . . . . . 8
43 vex 2867 . . . . . . . . . 10
4443snnz 3820 . . . . . . . . 9
4544a1i 10 . . . . . . . 8
4629adantl 452 . . . . . . . . . 10
4746sselda 3256 . . . . . . . . 9
4847, 21syldan 456 . . . . . . . 8
4942, 45, 48fsumrpcl 12301 . . . . . . 7
5024, 49ltaddrpd 10508 . . . . . 6
51 eldifn 3375 . . . . . . . . 9
5251adantl 452 . . . . . . . 8
53 disjsn 3769 . . . . . . . 8
5452, 53sylibr 203 . . . . . . 7
55 eqidd 2359 . . . . . . 7
5621rpcnd 10481 . . . . . . . 8
5733, 56syldan 456 . . . . . . 7
5854, 55, 27, 57fsumsplit 12303 . . . . . 6
5950, 58breqtrrd 4128 . . . . 5
6021rpge0d 10483 . . . . . 6
612, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40isumless 12395 . . . . 5
6224, 35, 41, 59, 61ltletrd 9063 . . . 4
6362ex 423 . . 3
6463exlimdv 1636 . 2
6516, 64mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521   cdif 3225   cun 3226   cin 3227   wss 3228  c0 3531  csn 3716   class class class wbr 4102   cdm 4768  cfv 5334  (class class class)co 5942  cfn 6948  cc 8822  cr 8823   caddc 8827   clt 8954  cz 10113  cuz 10319  crp 10443   cseq 11135   cli 12048  csu 12249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250
 Copyright terms: Public domain W3C validator