MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumnn0nn Unicode version

Theorem isumnn0nn 12585
Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumnn0nn.1  |-  ( k  =  0  ->  A  =  B )
isumnn0nn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumnn0nn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
isumnn0nn.4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumnn0nn  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
Distinct variable groups:    k, F    B, k    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem isumnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10484 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10257 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 isumnn0nn.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  A )
5 isumnn0nn.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
6 isumnn0nn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
71, 3, 4, 5, 6isum1p 12584 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( ( F `
 0 )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A ) )
8 0nn0 10200 . . . 4  |-  0  e.  NN0
94ralrimiva 2757 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( F `  k )  =  A )
10 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
11 isumnn0nn.1 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  A  =  B )
1210, 11eqeq12d 2426 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  =  A  <->  ( F `  0 )  =  B ) )
1312rspcv 3016 . . . 4  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( F `
 k )  =  A  ->  ( F `  0 )  =  B ) )
148, 9, 13mpsyl 61 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  B )
15 0p1e1 10057 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1615fveq2i 5698 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
17 nnuz 10485 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1816, 17eqtr4i 2435 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  NN
1918sumeq1i 12455 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A  =  sum_ k  e.  NN  A
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A  =  sum_ k  e.  NN  A )
2114, 20oveq12d 6066 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A )  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
227, 21eqtrd 2444 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   dom cdm 4845   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957   NNcn 9964   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452    seq cseq 11286    ~~> cli 12241   sum_csu 12442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443
  Copyright terms: Public domain W3C validator