Theorem isumnn0nn 7207

Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity.

Hypothesis

Ref	Expression
isumnn0nn.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
isumnn0nn	|- ((A.k e. NN0 (F` k) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 (F` k) = ((F` 0) + sum_k e. NN (F` k)))

Distinct variable group:   x,k,F

Proof of Theorem isumnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 6148	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		isumnn0nn.1	. . . . 5 |- F e. V
3	2	isum1p 7206	. . . 4 |- ((0 e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC /\ E.x(<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k) = ((F` 0) + sum_k e. (ZZ>` (0 + 1))(F` k)))
4	1, 3	mp3an1 905	. . 3 |- ((A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC /\ E.x(<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k) = ((F` 0) + sum_k e. (ZZ>` (0 + 1))(F` k)))
5		nn0uz 6439	. . . 4 |- NN0 = (ZZ>` 0)
6		raleq1 1789	. . . 4 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (A.k e. NN0 (F` k) e. CC <-> A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC))
7	5, 6	ax-mp 7	. . 3 |- (A.k e. NN0 (F` k) e. CC <-> A.k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC)
8		addex 5329	. . . . . . 7 |- + e. V
9	8, 2	seq1seqz 6542	. . . . . 6 |- ( + seq1 F) = (<.1, + >. seq F)
10		ax1cn 5281	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
11	10	addid2 5343	. . . . . . . 8 |- (0 + 1) = 1
12	11	opeq1i 2494	. . . . . . 7 |- <.(0 + 1), + >. = <.1, + >.
13	12	opreq1i 3977	. . . . . 6 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) = (<.1, + >. seq F)
14	9, 13	eqtr4 1501	. . . . 5 |- ( + seq1 F) = (<.(0 + 1), + >. seq F)
15	14	breq1i 2631	. . . 4 |- (( + seq1 F) ~~> x <-> (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> x)
16	15	exbii 1053	. . 3 |- (E.x( + seq1 F) ~~> x <-> E.x(<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> x)
17	4, 7, 16	syl2anb 457	. 2 |- ((A.k e. NN0 (F` k) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k) = ((F` 0) + sum_k e. (ZZ>` (0 + 1))(F` k)))
18	5	sumeq1i 6987	. 2 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)
19		nnuz 6440	. . . . 5 |- NN = (ZZ>` 1)
20	11	fveq2i 3733	. . . . 5 |- (ZZ>` (0 + 1)) = (ZZ>` 1)
21	19, 20	eqtr4 1501	. . . 4 |- NN = (ZZ>` (0 + 1))
22	21	sumeq1i 6987	. . 3 |- sum_k e. NN (F` k) = sum_k e. (ZZ>` (0 + 1))(F` k)
23	22	opreq2i 3978	. 2 |- ((F` 0) + sum_k e. NN (F` k)) = ((F` 0) + sum_k e. (ZZ>` (0 + 1))(F` k))
24	17, 18, 23	3eqtr4g 1534	1 |- ((A.k e. NN0 (F` k) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 (F` k) = ((F` 0) + sum_k e. NN (F` k)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310   seq1 cseq1 6308  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  isumnn0nna 7208  dfef2 7307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain