MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumnn0nn Unicode version

Theorem isumnn0nn 12509
Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumnn0nn.1  |-  ( k  =  0  ->  A  =  B )
isumnn0nn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumnn0nn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
isumnn0nn.4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumnn0nn  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
Distinct variable groups:    k, F    B, k    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem isumnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10413 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10186 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 isumnn0nn.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  A )
5 isumnn0nn.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
6 isumnn0nn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
71, 3, 4, 5, 6isum1p 12508 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( ( F `
 0 )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A ) )
8 0nn0 10129 . . . 4  |-  0  e.  NN0
94ralrimiva 2711 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( F `  k )  =  A )
10 fveq2 5632 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
11 isumnn0nn.1 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  A  =  B )
1210, 11eqeq12d 2380 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  =  A  <->  ( F `  0 )  =  B ) )
1312rspcv 2965 . . . 4  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( F `
 k )  =  A  ->  ( F `  0 )  =  B ) )
148, 9, 13mpsyl 59 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  B )
15 0p1e1 9986 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1615fveq2i 5635 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
17 nnuz 10414 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1816, 17eqtr4i 2389 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  NN
1918sumeq1i 12379 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A  =  sum_ k  e.  NN  A
2019a1i 10 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A  =  sum_ k  e.  NN  A )
2114, 20oveq12d 5999 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A )  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
227, 21eqtrd 2398 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   dom cdm 4792   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887   NNcn 9893   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381    seq cseq 11210    ~~> cli 12165   sum_csu 12366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367
  Copyright terms: Public domain W3C validator