MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumnn0nn Structured version   Unicode version

Theorem isumnn0nn 12653
Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumnn0nn.1  |-  ( k  =  0  ->  A  =  B )
isumnn0nn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumnn0nn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
isumnn0nn.4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumnn0nn  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
Distinct variable groups:    k, F    B, k    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem isumnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10551 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10324 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 isumnn0nn.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  A )
5 isumnn0nn.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
6 isumnn0nn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
71, 3, 4, 5, 6isum1p 12652 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( ( F `
 0 )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A ) )
8 0nn0 10267 . . . 4  |-  0  e.  NN0
94ralrimiva 2795 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( F `  k )  =  A )
10 fveq2 5757 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
11 isumnn0nn.1 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  A  =  B )
1210, 11eqeq12d 2456 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  =  A  <->  ( F `  0 )  =  B ) )
1312rspcv 3054 . . . 4  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( F `
 k )  =  A  ->  ( F `  0 )  =  B ) )
148, 9, 13mpsyl 62 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  B )
15 0p1e1 10124 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1615fveq2i 5760 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
17 nnuz 10552 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1816, 17eqtr4i 2465 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  NN
1918sumeq1i 12523 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A  =  sum_ k  e.  NN  A
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A  =  sum_ k  e.  NN  A )
2114, 20oveq12d 6128 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A )  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
227, 21eqtrd 2474 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   dom cdm 4907   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024   NNcn 10031   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   ZZ>=cuz 10519    seq cseq 11354    ~~> cli 12309   sum_csu 12510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511
  Copyright terms: Public domain W3C validator