Theorem isumnn0nna 7143

Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity of a class term A(k).

Hypotheses

Ref	Expression
isumnn0nna.1	|- A e. V
isumnn0nna.3	|- F e. V
isumnn0nna.4	|- (y e. F -> A.k y e. F)
isumnn0nna.5	|- (k e. NN0 -> (F` k) = A)

Assertion

Ref	Expression
isumnn0nna	|- ((A.k e. NN0 A e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))

Distinct variable groups:   x,y,F   y,k

Proof of Theorem isumnn0nna

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumnn0nna.3	. . . 4 |- F e. V
2	1	isumnn0nn 7142	. . 3 |- ((A.j e. NN0 (F` j) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_j e. NN0 (F` j) = ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j)))
3		isumnn0nna.5	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (F` k) = A)
4	3	sumeq2i 6926	. . . 4 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 A
5		ax-17 968	. . . . 5 |- (y e. (F` k) -> A.j y e. (F` k))
6		isumnn0nna.4	. . . . . 6 |- (y e. F -> A.k y e. F)
7		ax-17 968	. . . . . 6 |- (y e. j -> A.k y e. j)
8	6, 7	hbfv 3714	. . . . 5 |- (y e. (F` j) -> A.k y e. (F` j))
9		fveq2 3709	. . . . 5 |- (k = j -> (F` k) = (F` j))
10	5, 8, 9	cbvsum 6924	. . . 4 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_j e. NN0 (F` j)
11	4, 10	eqtr3 1489	. . 3 |- sum_k e. NN0 A = sum_j e. NN0 (F` j)
12		0nn0 6060	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
13		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (z e. 0 -> A.k z e. 0)
14		ax-17 968	. . . . . . . . 9 |- (y e. 0 -> A.k y e. 0)
15	6, 14	hbfv 3714	. . . . . . . 8 |- (y e. (F` 0) -> A.k y e. (F` 0))
16	12	elisseti 1809	. . . . . . . . 9 |- 0 e. V
17	16, 13	hbcsb1 2015	. . . . . . . 8 |- (z e. [_0 / k]_A -> A.k z e. [_0 / k]_A)
18	15, 17	hbeq 1557	. . . . . . 7 |- ((F` 0) = [_0 / k]_A -> A.k(F` 0) = [_0 / k]_A)
19		fveq2 3709	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> (F` k) = (F` 0))
20		csbeq1a 1996	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> A = [_0 / k]_A)
21	19, 20	eqeq12d 1481	. . . . . . 7 |- (k = 0 -> ((F` k) = A <-> (F` 0) = [_0 / k]_A))
22	13, 18, 21, 3	vtoclgaf 1842	. . . . . 6 |- (0 e. NN0 -> (F` 0) = [_0 / k]_A)
23	12, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 0) = [_0 / k]_A
24	5, 8, 9	cbvsum 6924	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN (F` k) = sum_j e. NN (F` j)
25	24	eqcomi 1471	. . . . . 6 |- sum_j e. NN (F` j) = sum_k e. NN (F` k)
26		nnnn0t 6053	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> k e. NN0)
27	26, 3	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (F` k) = A)
28	27	sumeq2i 6926	. . . . . 6 |- sum_k e. NN (F` k) = sum_k e. NN A
29	25, 28	eqtr 1487	. . . . 5 |- sum_j e. NN (F` j) = sum_k e. NN A
30	23, 29	opreq12i 3958	. . . 4 |- ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j)) = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A)
31	30	eqcomi 1471	. . 3 |- ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A) = ((F` 0) + sum_j e. NN (F` j))
32	2, 11, 31	3eqtr4g 1523	. 2 |- ((A.j e. NN0 (F` j) e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))
33	3	eleq1d 1532	. . . 4 |- (k e. NN0 -> ((F` k) e. CC <-> A e. CC))
34	33	ralbiia 1665	. . 3 |- (A.k e. NN0 (F` k) e. CC <-> A.k e. NN0 A e. CC)
35		ax-17 968	. . . 4 |- ((F` k) e. CC -> A.j(F` k) e. CC)
36		ax-17 968	. . . . 5 |- (z e. CC -> A.k z e. CC)
37	8, 36	hbel 1558	. . . 4 |- ((F` j) e. CC -> A.k(F` j) e. CC)
38	9	eleq1d 1532	. . . 4 |- (k = j -> ((F` k) e. CC <-> (F` j) e. CC))
39	35, 37, 38	cbvral 1789	. . 3 |- (A.k e. NN0 (F` k) e. CC <-> A.j e. NN0 (F` j) e. CC)
40	34, 39	bitr3 175	. 2 |- (A.k e. NN0 A e. CC <-> A.j e. NN0 (F` j) e. CC)
41	32, 40	sylanb 449	1 |- ((A.k e. NN0 A e. CC /\ E.x( + seq1 F) ~~> x) -> sum_k e. NN0 A = ([_0 / k]_A + sum_k e. NN A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  A.wral 1637  Vcvv 1802  [_csb 1991   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209  NNcn 5268  NN0cn0 5269   seq1 cseq1 6244   ~~> cli 6912  sum_csu 6917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918

Copyright terms: Public domain