Theorem isumshft2 7205

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- F e. V
isumshft.2	|- K e. ZZ
isumshft.3	|- M e. ZZ
isumshft.4	|- N = (M + K)

Assertion

Ref	Expression
isumshft2	|- sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` M)(F` (K + k))

Distinct variable groups:   k,F   k,K   k,M   k,N

Proof of Theorem isumshft2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.4	. . . . . 6 |- N = (M + K)
2		isumshft.3	. . . . . . 7 |- M e. ZZ
3		isumshft.2	. . . . . . 7 |- K e. ZZ
4		zaddclt 6167	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M + K) e. ZZ)
5	2, 3, 4	mp2an 699	. . . . . 6 |- (M + K) e. ZZ
6	1, 5	eqeltr 1547	. . . . 5 |- N e. ZZ
7		isumshft.1	. . . . . 6 |- F e. V
8		visset 1816	. . . . . 6 |- x e. V
9	7, 8	isumclimt 7196	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ (<.N, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = x)
10	6, 9	mpan 697	. . . 4 |- ((<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = x)
11		znegclt 6165	. . . . . . . . 9 |- (K e. ZZ -> -uK e. ZZ)
12	3, 11	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- -uK e. ZZ
13		zcnt 6142	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
14	6, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- N e. CC
15		zcnt 6142	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
16	3, 15	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- K e. CC
17	14, 16	negsub 5393	. . . . . . . . 9 |- (N + -uK) = (N - K)
18	1	eqcomi 1482	. . . . . . . . . 10 |- (M + K) = N
19		zcnt 6142	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
20	2, 19	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- M e. CC
21	14, 16, 20	subadd2 5385	. . . . . . . . . 10 |- ((N - K) = M <-> (M + K) = N)
22	18, 21	mpbir 190	. . . . . . . . 9 |- (N - K) = M
23	17, 22	eqtr2 1499	. . . . . . . 8 |- M = (N + -uK)
24		eqid 1478	. . . . . . . 8 |- (F shift -uK) = (F shift -uK)
25	7, 6, 12, 23, 24	iserzshft 7144	. . . . . . 7 |- (x e. V -> ((<.N, + >. seq F) ~~> x <-> (<.M, + >. seq (F shift -uK)) ~~> x))
26	8, 25	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((<.N, + >. seq F) ~~> x <-> (<.M, + >. seq (F shift -uK)) ~~> x)
27		oprex 3989	. . . . . . . 8 |- (F shift -uK) e. V
28	27, 8	isumclimt 7196	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq (F shift -uK)) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` M)((F shift -uK)` k) = x)
29	2, 28	mpan 697	. . . . . 6 |- ((<.M, + >. seq (F shift -uK)) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)((F shift -uK)` k) = x)
30	26, 29	sylbi 199	. . . . 5 |- ((<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)((F shift -uK)` k) = x)
31		eluzelz 6424	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
32		zcnt 6142	. . . . . . . 8 |- (k e. ZZ -> k e. CC)
33	31, 32	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. CC)
34	7	shftval4t 6350	. . . . . . . 8 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> ((F shift -uK)` k) = (F` (K + k)))
35	16, 34	mpan 697	. . . . . . 7 |- (k e. CC -> ((F shift -uK)` k) = (F` (K + k)))
36	33, 35	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((F shift -uK)` k) = (F` (K + k)))
37	36	sumeq2i 6988	. . . . 5 |- sum_k e. (ZZ>` M)((F shift -uK)` k) = sum_k e. (ZZ>` M)(F` (K + k))
38	30, 37	syl5eqr 1524	. . . 4 |- ((<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` (K + k)) = x)
39	10, 38	eqtr4d 1513	. . 3 |- ((<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` M)(F` (K + k)))
40	39	19.23aiv 1297	. 2 |- (E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` M)(F` (K + k)))
41	7	isumnul 7203	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ -. E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = (/))
42	6, 41	mpan 697	. . . 4 |- (-. E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = (/))
43	26	exbii 1053	. . . . . 6 |- (E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x <-> E.x(<.M, + >. seq (F shift -uK)) ~~> x)
44	43	negbii 187	. . . . 5 |- (-. E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x <-> -. E.x(<.M, + >. seq (F shift -uK)) ~~> x)
45	27	isumnul 7203	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ -. E.x(<.M, + >. seq (F shift -uK)) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` M)((F shift -uK)` k) = (/))
46	2, 45	mpan 697	. . . . 5 |- (-. E.x(<.M, + >. seq (F shift -uK)) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)((F shift -uK)` k) = (/))
47	44, 46	sylbi 199	. . . 4 |- (-. E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)((F shift -uK)` k) = (/))
48	42, 47	eqtr4d 1513	. . 3 |- (-. E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` M)((F shift -uK)` k))
49	48, 37	syl6eq 1526	. 2 |- (-. E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` M)(F` (K + k)))
50	40, 49	pm2.61i 126	1 |- sum_k e. (ZZ>` N)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` M)(F` (K + k))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814  (/)c0 2283  <.cop 2415   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   + caddc 5249   - cmin 5304  -ucneg 5305  ZZcz 5310   shift cshi 6341  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain