MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Structured version   Unicode version

Theorem isumsup2 12616
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumsup.2  |-  G  =  seq  M (  +  ,  F )
isumsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumsup.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumsup.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumsup.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
isumsup.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
Assertion
Ref Expression
isumsup2  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
j, M, k, x    ph, j, k    j, Z, k, x    j, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( k)    G( k)

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumsup.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumsup.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
53, 4eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
61, 2, 5serfre 11342 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
7 isumsup.2 . . . 4  |-  G  =  seq  M (  +  ,  F )
87feq1i 5577 . . 3  |-  ( G : Z --> RR  <->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
96, 8sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
10 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1110, 1syl6eleq 2525 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
12 eluzelz 10486 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
14 uzid 10490 . . . . 5  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
15 peano2uz 10520 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1613, 14, 153syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )
17 simpl 444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ph )
18 elfzuz 11045 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1918, 1syl6eleqr 2526 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
2017, 19, 5syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
211peano2uzs 10521 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
2221adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
23 elfzuz 11045 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
241uztrn2 10493 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
2522, 23, 24syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
26 isumsup.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
2726, 3breqtrrd 4230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2827adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2925, 28syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
3011, 16, 20, 29sermono 11345 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( j  +  1 ) ) )
317fveq1i 5721 . . 3  |-  ( G `
 j )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j )
327fveq1i 5721 . . 3  |-  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) )
3330, 31, 323brtr4g 4236 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
34 isumsup.7 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
351, 2, 9, 33, 34climsup 12453 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    < clt 9110    <_ cle 9111   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   ...cfz 11033    seq cseq 11313    ~~> cli 12268
This theorem is referenced by:  isumsup  12617  ovoliunlem1  19388  ioombl1lem4  19445  uniioombllem2  19465  uniioombllem6  19470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272
  Copyright terms: Public domain W3C validator