MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Unicode version

Theorem isumsup2 12553
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumsup.2  |-  G  =  seq  M (  +  ,  F )
isumsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumsup.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumsup.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumsup.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
isumsup.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
Assertion
Ref Expression
isumsup2  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
j, M, k, x    ph, j, k    j, Z, k, x    j, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( k)    G( k)

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumsup.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumsup.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
53, 4eqeltrd 2461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
61, 2, 5serfre 11279 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
7 isumsup.2 . . . 4  |-  G  =  seq  M (  +  ,  F )
87feq1i 5525 . . 3  |-  ( G : Z --> RR  <->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
96, 8sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
10 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1110, 1syl6eleq 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
12 eluzelz 10428 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
14 uzid 10432 . . . . 5  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
15 peano2uz 10462 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1613, 14, 153syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )
17 simpl 444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ph )
18 elfzuz 10987 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1918, 1syl6eleqr 2478 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
2017, 19, 5syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
211peano2uzs 10463 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
2221adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
23 elfzuz 10987 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
241uztrn2 10435 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
2522, 23, 24syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
26 isumsup.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
2726, 3breqtrrd 4179 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2827adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2925, 28syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
3011, 16, 20, 29sermono 11282 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( j  +  1 ) ) )
317fveq1i 5669 . . 3  |-  ( G `
 j )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j )
327fveq1i 5669 . . 3  |-  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) )
3330, 31, 323brtr4g 4185 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
34 isumsup.7 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
351, 2, 9, 33, 34climsup 12390 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650   class class class wbr 4153   ran crn 4819   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975    seq cseq 11250    ~~> cli 12205
This theorem is referenced by:  isumsup  12554  ovoliunlem1  19265  ioombl1lem4  19322  uniioombllem2  19342  uniioombllem6  19347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209
  Copyright terms: Public domain W3C validator