MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Unicode version

Theorem isumsup2 12305
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumsup.2  |-  G  =  seq  M (  +  ,  F )
isumsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumsup.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumsup.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumsup.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
isumsup.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
Assertion
Ref Expression
isumsup2  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
j, M, k, x    ph, j, k    j, Z, k, x    j, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( k)    G( k)

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumsup.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumsup.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
53, 4eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
61, 2, 5serfre 11075 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
7 isumsup.2 . . . 4  |-  G  =  seq  M (  +  ,  F )
87feq1i 5383 . . 3  |-  ( G : Z --> RR  <->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
96, 8sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
10 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1110, 1syl6eleq 2373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
12 eluzelz 10238 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
14 uzid 10242 . . . . 5  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
15 peano2uz 10272 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1613, 14, 153syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )
17 simpl 443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ph )
18 elfzuz 10794 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1918, 1syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
2017, 19, 5syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( M ... (
j  +  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
211peano2uzs 10273 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
2221adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
23 elfzuz 10794 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( j  +  1 ) ... ( j  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
241uztrn2 10245 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  Z )
2522, 23, 24syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  Z )
26 isumsup.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
2726, 3breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2827adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
2925, 28syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... (
j  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
3011, 16, 20, 29sermono 11078 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  <_  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( j  +  1 ) ) )
317fveq1i 5526 . . 3  |-  ( G `
 j )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j )
327fveq1i 5526 . . 3  |-  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) )
3330, 31, 323brtr4g 4055 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( G `  j )  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
34 isumsup.7 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  ( G `  j )  <_  x )
351, 2, 9, 33, 34climsup 12143 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  isumsup  12306  ovoliunlem1  18861  ioombl1lem4  18918  uniioombllem2  18938  uniioombllem6  18943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962
  Copyright terms: Public domain W3C validator