Theorem isunscov 15357

Description: If an infinite set A is included in the underlying set of a finite cover B then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of A.

Assertion

Ref	Expression
isunscov	|- ((-. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U.B) -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem isunscov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfral2 2395	. . 3 |- (A.x e. B (A i^i x) e. Fin <-> -. E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)
2		iunfi 5927	. . . . . . . 8 |- ((B e. Fin /\ A.x e. B (A i^i x) e. Fin) -> U_x e. B (A i^i x) e. Fin)
3		iunin2 3522	. . . . . . . . . 10 |- U_x e. B (A i^i x) = (A i^i U_x e. B x)
4	3	eleq1i 2236	. . . . . . . . 9 |- (U_x e. B (A i^i x) e. Fin <-> (A i^i U_x e. B x) e. Fin)
5		uniiun 3511	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.B = U_x e. B x
6	5	eqcomi 2174	. . . . . . . . . . . 12 |- U_x e. B x = U.B
7	6	ineq2i 3038	. . . . . . . . . . 11 |- (A i^i U_x e. B x) = (A i^i U.B)
8	7	eleq1i 2236	. . . . . . . . . 10 |- ((A i^i U_x e. B x) e. Fin <-> (A i^i U.B) e. Fin)
9		df-ss 2868	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ U.B <-> (A i^i U.B) = A)
10		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A i^i U.B) = A -> ((A i^i U.B) e. Fin <-> A e. Fin))
11		pm2.24 131	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. Fin -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))
12	10, 11	syl6bi 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A i^i U.B) = A -> ((A i^i U.B) e. Fin -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
13	9, 12	sylbi 237	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ U.B -> ((A i^i U.B) e. Fin -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
14	13	com12 26	. . . . . . . . . 10 |- ((A i^i U.B) e. Fin -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
15	8, 14	sylbi 237	. . . . . . . . 9 |- ((A i^i U_x e. B x) e. Fin -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
16	4, 15	sylbi 237	. . . . . . . 8 |- (U_x e. B (A i^i x) e. Fin -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
17	2, 16	syl 13	. . . . . . 7 |- ((B e. Fin /\ A.x e. B (A i^i x) e. Fin) -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)))
18	17	ex 494	. . . . . 6 |- (B e. Fin -> (A.x e. B (A i^i x) e. Fin -> (A C_ U.B -> (-. A e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))))
19	18	com24 82	. . . . 5 |- (B e. Fin -> (-. A e. Fin -> (A C_ U.B -> (A.x e. B (A i^i x) e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))))
20	19	com12 26	. . . 4 |- (-. A e. Fin -> (B e. Fin -> (A C_ U.B -> (A.x e. B (A i^i x) e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))))
21	20	3imp 1339	. . 3 |- ((-. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U.B) -> (A.x e. B (A i^i x) e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))
22	1, 21	syl5bir 272	. 2 |- ((-. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U.B) -> (-. E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin))
23	22	pm2.18d 134	1 |- ((-. A e. Fin /\ B e. Fin /\ A C_ U.B) -> E.x e. B -. (A i^i x) e. Fin)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 433   /\ w3a 1130   = wceq 1615   e. wcel 1617  A.wral 2385  E.wrex 2386   i^i cin 2858   C_ wss 2859  U.cuni 3398  U_ciun 3468  Fincfn 5630

This theorem is referenced by:  bwt2 15999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-int 3433  df-iun 3470  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-rdg 5344  df-1o 5384  df-oadd 5386  df-er 5519  df-en 5631  df-dom 5632  df-fin 5634

Copyright terms: Public domain