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Theorem isunscov 25074
Description: If an infinite set  A is included in the underlying set of a finite cover  B then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of  A. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
isunscov  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem isunscov
StepHypRef Expression
1 dfral2 2555 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin 
<->  -.  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x )  e. 
Fin )
2 iunfi 7144 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  B  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
3 iunin2 3966 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  =  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )
43eleq1i 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x
)  e.  Fin )
5 uniiun 3955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. B  =  U_ x  e.  B  x
65eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  B  x  =  U. B
76ineq2i 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  =  ( A  i^i  U. B
)
87eleq1i 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  e.  Fin  <->  ( A  i^i  U. B )  e.  Fin )
9 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  U. B  <->  ( A  i^i  U. B )  =  A )
10 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  =  A  -> 
( ( A  i^i  U. B )  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
11 pm2.24 101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
1210, 11syl6bi 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  =  A  -> 
( ( A  i^i  U. B )  e.  Fin  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
139, 12sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  U. B  ->  (
( A  i^i  U. B )  e.  Fin  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
1413com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  U. B
)  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
158, 14sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  U_ x  e.  B  x )  e.  Fin  ->  ( A  C_ 
U. B  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
164, 15sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  B  ( A  i^i  x )  e. 
Fin  ->  ( A  C_  U. B  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x )  e. 
Fin ) ) )
172, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin )  -> 
( A  C_  U. B  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) )
1817ex 423 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x
)  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
1918com24 81 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
2019com12 27 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  C_  U. B  -> 
( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
) ) )
21203imp 1145 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  ( A. x  e.  B  ( A  i^i  x )  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
221, 21syl5bir 209 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  ( -.  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
)
2322pm2.18d 103 1  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  A  C_  U. B )  ->  E. x  e.  B  -.  ( A  i^i  x
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   U_ciun 3905   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  bwt2  25592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
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