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Theorem isvci 22022
Description: Properties that determine a complex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isvci.1  |-  G  e. 
AbelOp
isvci.2  |-  dom  G  =  ( X  X.  X )
isvci.3  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
isvci.4  |-  ( x  e.  X  ->  (
1 S x )  =  x )
isvci.5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
isvci.6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
isvci.7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  x.  z
) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )
isvci.8  |-  W  = 
<. G ,  S >.
Assertion
Ref Expression
isvci  |-  W  e. 
CVec OLD
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, S, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    W( x, y, z)

Proof of Theorem isvci
StepHypRef Expression
1 isvci.8 . 2  |-  W  = 
<. G ,  S >.
2 isvci.1 . . 3  |-  G  e. 
AbelOp
3 isvci.3 . . 3  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
4 isvci.4 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  ->  (
1 S x )  =  x )
5 isvci.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
653com12 1157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  (
y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
763expa 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
87ralrimiva 2757 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
9 isvci.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
10 isvci.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  x.  z
) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )
119, 10jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
12113comr 1161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
13123expa 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
1413ralrimiva 2757 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
158, 14jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
1615ralrimiva 2757 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  ->  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
174, 16jca 519 . . . 4  |-  ( x  e.  X  ->  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )
1817rgen 2739 . . 3  |-  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
19 ablogrpo 21833 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
202, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  G  e. 
GrpOp
21 isvci.2 . . . . 5  |-  dom  G  =  ( X  X.  X )
2220, 21grporn 21761 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2322isvc 22021 . . 3  |-  ( <. G ,  S >.  e. 
CVec OLD  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
242, 3, 18, 23mpbir3an 1136 . 2  |-  <. G ,  S >.  e.  CVec OLD
251, 24eqeltri 2482 1  |-  W  e. 
CVec OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   <.cop 3785    X. cxp 4843   dom cdm 4845   -->wf 5417  (class class class)co 6048   CCcc 8952   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959   GrpOpcgr 21735   AbelOpcablo 21830   CVec
OLDcvc 21985
This theorem is referenced by:  cncvc  22023  hilvc  22625  hhssnv  22725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-grpo 21740  df-ablo 21831  df-vc 21986
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