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Theorem isvci 22066
Description: Properties that determine a complex vector space. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isvci.1  |-  G  e. 
AbelOp
isvci.2  |-  dom  G  =  ( X  X.  X )
isvci.3  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
isvci.4  |-  ( x  e.  X  ->  (
1 S x )  =  x )
isvci.5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
isvci.6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
isvci.7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  x.  z
) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )
isvci.8  |-  W  = 
<. G ,  S >.
Assertion
Ref Expression
isvci  |-  W  e. 
CVec OLD
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, S, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    W( x, y, z)

Proof of Theorem isvci
StepHypRef Expression
1 isvci.8 . 2  |-  W  = 
<. G ,  S >.
2 isvci.1 . . 3  |-  G  e. 
AbelOp
3 isvci.3 . . 3  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
4 isvci.4 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  ->  (
1 S x )  =  x )
5 isvci.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
653com12 1158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  (
y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
763expa 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
87ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
9 isvci.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
10 isvci.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  x.  z
) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) )
119, 10jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
12113comr 1162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
13123expa 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
1413ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
158, 14jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
1615ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  ->  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
174, 16jca 520 . . . 4  |-  ( x  e.  X  ->  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )
1817rgen 2773 . . 3  |-  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
19 ablogrpo 21877 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
202, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  G  e. 
GrpOp
21 isvci.2 . . . . 5  |-  dom  G  =  ( X  X.  X )
2220, 21grporn 21805 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2322isvc 22065 . . 3  |-  ( <. G ,  S >.  e. 
CVec OLD  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
242, 3, 18, 23mpbir3an 1137 . 2  |-  <. G ,  S >.  e.  CVec OLD
251, 24eqeltri 2508 1  |-  W  e. 
CVec OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   <.cop 3819    X. cxp 4879   dom cdm 4881   -->wf 5453  (class class class)co 6084   CCcc 8993   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000   GrpOpcgr 21779   AbelOpcablo 21874   CVec
OLDcvc 22029
This theorem is referenced by:  cncvc  22067  hilvc  22669  hhssnv  22769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-grpo 21784  df-ablo 21875  df-vc 22030
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