MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iswrd Unicode version

Theorem iswrd 11511
Description: Property of being a word over a set with a quantifier over the length. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
iswrd  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
Distinct variable groups:    S, l    W, l

Proof of Theorem iswrd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-word 11505 . . 3  |- Word  S  =  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S }
21eleq2i 2422 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  W  e.  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S } )
3 ffn 5472 . . . . 5  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  Fn  ( 0..^ l ) )
4 fzofi 11128 . . . . . 6  |-  ( 0..^ l )  e.  Fin
5 fnfi 7224 . . . . . 6  |-  ( ( W  Fn  ( 0..^ l )  /\  (
0..^ l )  e. 
Fin )  ->  W  e.  Fin )
64, 5mpan2 652 . . . . 5  |-  ( W  Fn  ( 0..^ l )  ->  W  e.  Fin )
7 elex 2872 . . . . 5  |-  ( W  e.  Fin  ->  W  e.  _V )
83, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  e.  _V )
98rexlimivw 2739 . . 3  |-  ( E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  e.  _V )
10 feq1 5457 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
w : ( 0..^ l ) --> S  <->  W :
( 0..^ l ) --> S ) )
1110rexbidv 2640 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  ( E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S ) )
129, 11elab3 2997 . 2  |-  ( W  e.  { w  |  E. l  e.  NN0  w : ( 0..^ l ) --> S }  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
132, 12bitri 240 1  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    Fn wfn 5332   -->wf 5333  (class class class)co 5945   Fincfn 6951   0cc0 8827   NN0cn0 10057  ..^cfzo 10962  Word cword 11499
This theorem is referenced by:  iswrdi  11513  wrdf  11515  sswrd  11519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-word 11505
  Copyright terms: Public domain W3C validator