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Theorem isxmet 18356
Description: Express the predicate " D is an extended metric." (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isxmet
Dummy variables  d 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . . . . 5  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
2 xpeq12 4899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  X  /\  t  =  X )  ->  ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X ) )
32anidms 628 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
43oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( RR*  ^m  ( t  X.  t ) )  =  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) ) )
5 raleq 2906 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( x d y )  <_  ( (
z d x ) + e ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) + e ( z d y ) ) ) )
65anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) + e
( z d y ) ) )  <->  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) ) )
76raleqbi1dv 2914 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) + e
( z d y ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2914 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) + e
( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2953 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
t  X.  t ) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  t  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) }  =  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) } )
10 df-xmet 16697 . . . . . 6  |-  * Met  =  ( t  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
t  X.  t ) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  t  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6108 . . . . . . 7  |-  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  e.  _V
1211rabex 4356 . . . . . 6  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) }  e.  _V
139, 10, 12fvmpt 5808 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( * Met `  X )  =  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( * Met `  X )  =  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2505 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  <->  D  e.  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x ) + e ( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6089 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
x d y )  =  ( x D y ) )
1716eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  =  0  <->  (
x D y )  =  0 ) )
1817bibi1d 312 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) ) )
19 oveq 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d x )  =  ( z D x ) )
20 oveq 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d y )  =  ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( z d x ) + e ( z d y ) )  =  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )
2216, 21breq12d 4227 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  <_  ( (
z d x ) + e ( z d y ) )  <-> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) ) )
2322ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) + e ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) ) )
2418, 23anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) + e
( z d y ) ) )  <->  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )
25242ralbidv 2749 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) + e
( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3094 . . 3  |-  ( D  e.  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) + e ( z d y ) ) ) }  <->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 254 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  <->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
28 xrex 10611 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
29 xpexg 4991 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
3029anidms 628 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
31 elmapg 7033 . . . 4  |-  ( (
RR*  e.  _V  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V )  ->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR* ) )
3228, 30, 31sylancr 646 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR* ) )
3332anbi1d 687 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( D  e.  (
RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
3427, 33bitrd 246 1  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   0cc0 8992   RR*cxr 9121    <_ cle 9123   + ecxad 10710   * Metcxmt 16688
This theorem is referenced by:  isxmetd  18358  xmetf  18361  ismet2  18365  xmeteq0  18370  xmettri2  18372  imasf1oxmet  18407  pstmxmet  24294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-xr 9126  df-xmet 16697
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