MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmetd Structured version   Unicode version

Theorem isxmetd 18361
Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isxmetd.1  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
isxmetd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
isxmetd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isxmetd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    ph, x, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd
StepHypRef Expression
1 isxmetd.1 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 isxmetd.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3 isxmetd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) )
433exp2 1172 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  ( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
54imp32 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) ) )
65ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) )
72, 6jca 520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) )
87ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) )
9 isxmetd.0 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
10 isxmet 18359 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
121, 8, 11mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   RR*cxr 9124    <_ cle 9126   + ecxad 10713   * Metcxmt 16691
This theorem is referenced by:  isxmet2d  18362  xmetres2  18396  comet  18548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-xr 9129  df-xmet 16700
  Copyright terms: Public domain W3C validator