MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmetd Unicode version

Theorem isxmetd 18104
Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isxmetd.1  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
isxmetd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
isxmetd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isxmetd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    ph, x, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd
StepHypRef Expression
1 isxmetd.1 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 isxmetd.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3 isxmetd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) )
433exp2 1170 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  ( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
54imp32 422 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) ) )
65ralrimiv 2710 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) )
72, 6jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) )
87ralrimivva 2720 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) ) )
9 isxmetd.0 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
10 isxmet 18102 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
119, 10syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
121, 8, 11mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   _Vcvv 2873   class class class wbr 4125    X. cxp 4790   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   0cc0 8884   RR*cxr 9013    <_ cle 9015   + ecxad 10601   * Metcxmt 16579
This theorem is referenced by:  isxmet2d  18105  xmetres2  18138  comet  18272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-map 6917  df-xr 9018  df-xmet 16586
  Copyright terms: Public domain W3C validator