MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg0 Structured version   Unicode version

Theorem itg0 19671
Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg0  |-  S. (/) A  _d x  =  0

Proof of Theorem itg0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 19661 . 2  |-  S. (/) A  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 ifan 3778 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  (/) ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4 noel 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  x  e.  (/)
5 iffalse 3746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  (/)  ->  if ( x  e.  (/) ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  (/) ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0
73, 6eqtri 2456 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  0
87mpteq2i 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
9 fconstmpt 4921 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
108, 9eqtr4i 2459 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } )
1110fveq2i 5731 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  { 0 } ) )
12 itg20 19629 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
1311, 12eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  0
1413oveq2i 6092 . . . . 5  |-  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  0 )
15 ax-icn 9049 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
16 elfznn0 11083 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
17 expcl 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1918mul01d 9265 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  0 )  =  0 )
2014, 19syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0 )
2120sumeq2i 12493 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0
22 fzfi 11311 . . . . 5  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2322olci 381 . . . 4  |-  ( ( 0 ... 3 ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin )
24 sumz 12516 . . . 4  |-  ( ( ( 0 ... 3
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... 3 )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0 )
2523, 24ax-mp 8 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0
2621, 25eqtri 2456 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0
272, 26eqtri 2456 1  |-  S. (/) A  _d x  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   _ici 8992    x. cmul 8995    <_ cle 9121    / cdiv 9677   3c3 10050   NN0cn0 10221   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   ^cexp 11382   Recre 11902   sum_csu 12479   S.2citg2 19508   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  itgsplitioo  19729  ditg0  19740  ditgneg  19744  ftc2  19928  ftc2nc  26289  areacirc  26297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-itg 19516  df-0p 19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator