MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem1 Structured version   Unicode version

Theorem itg1addlem1 19576
Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1addlem.1  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
itg1addlem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
itg1addlem.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
itg1addlem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  dom  vol )
itg1addlem.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg1addlem1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem itg1addlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1addlem.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 itg1addlem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  dom  vol )
3 itg1addlem.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  RR )
42, 3jca 519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )
54ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
6 itg1addlem.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
76adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
8 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
97, 8sseldd 3341 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  x  e.  ( `' F " { k } ) )
10 itg1addlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
11 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
1312adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  F  Fn  X )
14 fniniseg 5843 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  k ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  k ) ) )
169, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  =  k ) )
1716simprd 450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( F `  x
)  =  k )
1817ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  k )
19 invdisj 4193 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  k  -> Disj  k  e.  A B )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A B
)
21 volfiniun 19433 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
221, 5, 20, 21syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   {csn 3806   U_ciun 4085  Disj wdisj 4174   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446   Fincfn 7101   RRcr 8981   sum_csu 12471   volcvol 19352
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  19583  itg1addlem5  19584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354
  Copyright terms: Public domain W3C validator