MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem1 Unicode version

Theorem itg1addlem1 19047
Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1addlem.1  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
itg1addlem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
itg1addlem.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
itg1addlem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  dom  vol )
itg1addlem.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg1addlem1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem itg1addlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1addlem.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 itg1addlem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  dom  vol )
3 itg1addlem.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  RR )
42, 3jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )
54ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
6 itg1addlem.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
76adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
8 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
97, 8sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  x  e.  ( `' F " { k } ) )
10 itg1addlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
11 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
1312adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  F  Fn  X )
14 fniniseg 5646 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  k ) ) )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  k ) ) )
169, 15mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  =  k ) )
1716simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( F `  x
)  =  k )
1817ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  k )
19 invdisj 4012 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  k  -> Disj  k  e.  A B )
2018, 19syl 15 . 2  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A B
)
21 volfiniun 18904 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
221, 5, 20, 21syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   U_ciun 3905  Disj wdisj 3993   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863   RRcr 8736   sum_csu 12158   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  19054  itg1addlem5  19055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825
  Copyright terms: Public domain W3C validator