MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1cl Unicode version

Theorem itg1cl 19446
Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1cl  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )

Proof of Theorem itg1cl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1val 19444 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
2 i1frn 19438 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
3 difss 3419 . . . 4  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
4 ssfi 7267 . . . 4  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
52, 3, 4sylancl 644 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
6 i1ff 19437 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
7 frn 5539 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  C_  RR )
98ssdifssd 3430 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  C_  RR )
109sselda 3293 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
11 i1fima2sn 19441 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1210, 11remulcld 9051 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
135, 12fsumrecl 12457 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  sum_
x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
141, 13eqeltrd 2463 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717    \ cdif 3262    C_ wss 3265   {csn 3759   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   ran crn 4821   "cima 4823   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   RRcr 8924   0cc0 8925    x. cmul 8930   sum_csu 12408   volcvol 19229   S.1citg1 19376
This theorem is referenced by:  itg1mulc  19465  itg1sub  19470  itg1lea  19473  itg2lcl  19488  itg2itg1  19497  itg2seq  19503  itg2uba  19504  itg2mulclem  19507  itg2splitlem  19509  itg2split  19510  itg2monolem1  19511  itg2monolem2  19512  itg2monolem3  19513  itg2i1fseq2  19517  itg2addlem  19519  i1fibl  19568  itg2addnclem  25959  itg2addnc  25961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xadd 10645  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409  df-xmet 16621  df-met 16622  df-ovol 19230  df-vol 19231  df-mbf 19381  df-itg1 19382
  Copyright terms: Public domain W3C validator