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Theorem itg1climres 19473
Description: Restricting the simple function  F to the increasing sequence  A ( n ) of measurable sets whose union is  RR yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1climres.1  |-  ( ph  ->  A : NN --> dom  vol )
itg1climres.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  ( A `  ( n  +  1 ) ) )
itg1climres.3  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  RR )
itg1climres.4  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
itg1climres.5  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
itg1climres  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  ( S.1 `  F
) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, F, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    G( x, n)

Proof of Theorem itg1climres
Dummy variables  j 
y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10453 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10243 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 itg1climres.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
5 i1frn 19436 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  Fin )
7 difss 3417 . . . 4  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
8 ssfi 7265 . . . 4  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
96, 7, 8sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
102a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  1  e.  ZZ )
11 i1fima 19437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
124, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
14 itg1climres.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A : NN --> dom  vol )
1514ffvelrnda 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e. 
dom  vol )
1615adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  dom  vol )
17 inmbl 19303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol  /\  ( A `  n )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol )
1813, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol )
19 mblvol 19293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  =  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol * `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
21 inss1 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  C_  ( `' F " { k } )
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } ) )
23 mblss 19294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { k } ) 
C_  RR )
2413, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " { k } )  C_  RR )
25 mblvol 19293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol * `  ( `' F " { k } ) ) )
2613, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol
* `  ( `' F " { k } ) ) )
27 i1fima2sn 19439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
284, 27sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
2928adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
3026, 29eqeltrrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
31 ovolsscl 19249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } )  /\  ( `' F " { k } )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
3222, 24, 30, 31syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
3320, 32eqeltrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
34 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
3533, 34fmptd 5832 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) : NN --> RR )
36 itg1climres.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  ( A `  ( n  +  1 ) ) )
3736adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  C_  ( A `  (
n  +  1 ) ) )
38 sslin 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  n ) 
C_  ( A `  ( n  +  1
) )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
4014adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A : NN --> dom  vol )
41 peano2nn 9944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
42 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A : NN --> dom  vol  /\  ( n  +  1 )  e.  NN )  ->  ( A `  ( n  +  1
) )  e.  dom  vol )
4340, 41, 42syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  e.  dom  vol )
44 inmbl 19303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol  /\  ( A `  ( n  +  1 ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol )
4513, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol )
46 mblss 19294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) )  C_  RR )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  C_  RR )
48 ovolss 19248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  /\  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
4939, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
50 mblvol 19293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
5145, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( vol * `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
5249, 20, 513brtr4d 4183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
5352ralrimiva 2732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
54 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
5554ineq2d 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )
5655fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )
57 fvex 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  e.  _V
5856, 34, 57fvmpt 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )
59 peano2nn 9944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
60 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
6160ineq2d 3485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
6261fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
63 fvex 5682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6462, 34, 63fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
6559, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
6658, 65breq12d 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
6766ralbiia 2681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
68 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
6968fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
7069ineq2d 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
7170fveq2d 5672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7256, 71breq12d 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )  <-> 
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
7372cbvralv 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7467, 73bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
7553, 74sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
7675r19.21bi 2747 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
77 ovolss 19248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } )  /\  ( `' F " { k } )  C_  RR )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol * `  ( `' F " { k } ) ) )
7821, 24, 77sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol * `  ( `' F " { k } ) ) )
7978, 20, 263brtr4d 4183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8079ralrimiva 2732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8158breq1d 4163 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8281ralbiia 2681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8356breq1d 4163 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8483cbvralv 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8582, 84bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8680, 85sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
87 breq2 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  -> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8887ralbidv 2669 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  -> 
( A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8988rspcev 2995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
)
9028, 86, 89syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
)
911, 10, 35, 76, 90climsup 12390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  ~~>  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
92 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )
9318, 92fmptd 5832 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) : NN --> dom  vol )
9439ralrimiva 2732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
95 fvex 5682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A `
 j )  e. 
_V
9695inex2 4286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  e.  _V
9755, 92, 96fvmpt 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )
98 fvex 5682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A `
 ( j  +  1 ) )  e. 
_V
9998inex2 4286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  _V
10061, 92, 99fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10159, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10297, 101sseq12d 3320 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
103102ralbiia 2681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  (
j  +  1 ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10455, 70sseq12d 3320 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
105104cbvralv 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
106103, 105bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  (
j  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
10794, 106sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
108 volsup 19317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
10993, 107, 108syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
11097iuneq2i 4053 . . . . . . . . . 10  |-  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U_ j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)
11155cbviunv 4071 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  =  U_ j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)
112 iunin2 4096 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
113110, 111, 1123eqtr2i 2413 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
114 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A : NN --> dom  vol  ->  A  Fn  NN )
115 fniunfv 5933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  U. ran  A )
11614, 114, 1153syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  U. ran  A
)
117 itg1climres.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  RR )
118116, 117eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  RR )
119118adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  RR )
120119ineq2d 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR ) )
12112adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
122121, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } ) 
C_  RR )
123 df-ss 3277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { k } )  C_  RR  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR )  =  ( `' F " { k } ) )
124122, 123sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR )  =  ( `' F " { k } ) )
125120, 124eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)  =  ( `' F " { k } ) )
126113, 125syl5eq 2431 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  ( `' F " { k } ) )
127 ffn 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  Fn  NN )
128 fniunfv 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  Fn  NN  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
12993, 127, 1283syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
130126, 129eqtr3d 2421 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } )  =  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
131130fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
132 frn 5537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  C_  RR )
13335, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  C_  RR )
134 fdm 5535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  NN )
13535, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  NN )
136 1nn 9943 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
137 ne0i 3577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
138136, 137mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  NN  =/=  (/) )
139135, 138eqnetrd 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
140 dm0rn0 5026 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  (/) 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  (/) )
141140necon3bii 2582 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =/=  (/) 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
142139, 141sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
143 ffn 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  Fn  NN )
144 breq1 4156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  ->  ( z  <_  x 
<->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x ) )
145144ralrn 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
14635, 143, 1453syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
147146rexbidv 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
14890, 147mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) z  <_  x )
149 supxrre 10838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x
)  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
150133, 142, 148, 149syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
151 rnco2 5317 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
152 eqidd 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
153 volf 19292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )
)
155154feqmptd 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  vol  =  (
y  e.  dom  vol  |->  ( vol `  y ) ) )
156 fveq2 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  ->  ( vol `  y )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )
15718, 152, 155, 156fmptco 5840 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
158157rneqd 5037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )
159151, 158syl5reqr 2434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )
160159supeq1d 7386 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
161150, 160eqtr3d 2421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
162109, 131, 1613eqtr4d 2429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
16391, 162breqtrrd 4179 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  ~~>  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
164 i1ff 19435 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
165 frn 5537 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
1664, 164, 1653syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
167166ssdifssd 3428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  RR )
168167sselda 3291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  k  e.  RR )
169168recnd 9047 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  k  e.  CC )
170 nnex 9938 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
171170mptex 5905 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  e.  _V
172171a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  e.  _V )
17335ffvelrnda 5809 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  e.  RR )
174173recnd 9047 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  e.  CC )
17556oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) ) )
176 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
177 ovex 6045 . . . . . . 7  |-  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) )  e.  _V
178175, 176, 177fvmpt 5745 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
17958oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
k  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
180178, 179eqtr4d 2422 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) ) )
181180adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1821, 10, 163, 169, 172, 174, 181climmulc2 12357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  ~~>  ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
183170mptex 5905 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  e. 
_V
184183a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  e.  _V )
185168adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
186185, 33remulcld 9049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  e.  RR )
187186, 176fmptd 5832 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) : NN --> RR )
188187ffvelrnda 5809 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  RR )
189188recnd 9047 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
190189anasss 629 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
1914adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  e. 
dom  S.1 )
192 itg1climres.5 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
193192i1fres 19464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  ( A `  n
)  e.  dom  vol )  ->  G  e.  dom  S.1 )
194191, 15, 193syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e. 
dom  S.1 )
1959adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
F  \  { 0 } )  e.  Fin )
196 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
1974, 164, 1963syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
198197adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
199 fnfvelrn 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  ran  F
)
200198, 199sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
201 i1f0rn 19441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ran  F )
2024, 201syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  F
)
203202ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ran  F )
204 ifcl 3718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ran  F  /\  0  e.  ran  F )  ->  if (
x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ran  F )
205200, 203, 204syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ran  F
)
206205, 192fmptd 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : RR
--> ran  F )
207 frn 5537 . . . . . . . . 9  |-  ( G : RR --> ran  F  ->  ran  G  C_  ran  F )
208 ssdif 3425 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
G  C_  ran  F  -> 
( ran  G  \  {
0 } )  C_  ( ran  F  \  {
0 } ) )
209206, 207, 2083syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
G  \  { 0 } )  C_  ( ran  F  \  { 0 } ) )
210166adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  F  C_  RR )
211210ssdifd 3426 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ( RR  \  { 0 } ) )
212 itg1val2 19443 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  ( ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  G  \  { 0 } )  C_  ( ran  F  \  { 0 } )  /\  ( ran  F  \  { 0 } )  C_  ( RR  \  { 0 } ) ) )  -> 
( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) ) )
213194, 195, 209, 211, 212syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) ) )
214 fvex 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
215 c0ex 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  _V
216214, 215ifex 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
217192fvmpt2 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( G `  x
)  =  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
218216, 217mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  ( G `  x )  =  if ( x  e.  ( A `  n
) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
219218adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x
)  =  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
220219eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
if ( x  e.  ( A `  n
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  k ) )
221 eldifsni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  k  =/=  0
)
222221ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  k  =/=  0 )
223 neeq1 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  -> 
( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =/=  0  <->  k  =/=  0
) )
224222, 223syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  ->  if (
x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =/=  0 ) )
225 iffalse 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  e.  ( A `
 n )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  0 )
226225necon1ai 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =/=  0  ->  x  e.  ( A `  n ) )
227224, 226syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  ->  x  e.  ( A `  n ) ) )
228227pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  <->  ( x  e.  ( A `  n
)  /\  if (
x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  k ) ) )
229220, 228bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
( x  e.  ( A `  n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k ) ) )
230 iftrue 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A `  n )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
231230eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A `  n )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  <->  ( F `  x )  =  k ) )
232231pm5.32i 619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k )  <-> 
( x  e.  ( A `  n )  /\  ( F `  x )  =  k ) )
233 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  ( F `  x )  =  k )  <->  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) )
234232, 233bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k )  <-> 
( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n ) ) )
235229, 234syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
236235pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  ( G `  x )  =  k )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) ) ) )
237 anass 631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) ) )
238236, 237syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  ( G `  x )  =  k )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
239 i1ff 19435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
240 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
241194, 239, 2403syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  Fn  RR )
242241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  G  Fn  RR )
243 fniniseg 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' G " { k } )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( G `
 x )  =  k ) ) )
244242, 243syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' G " { k } )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( G `  x
)  =  k ) ) )
245 elin 3473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  <->  ( x  e.  ( `' F " { k } )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) )
246198adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  F  Fn  RR )
247 fniniseg 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  =  k ) ) )
248246, 247syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' F " { k } )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  =  k ) ) )
249248anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( `' F " { k } )  /\  x  e.  ( A `  n
) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
250245, 249syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
251238, 244, 2503bitr4d 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' G " { k } )  <-> 
x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )
252251alrimiv 1638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  A. x
( x  e.  ( `' G " { k } )  <->  x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
253 nfmpt1 4239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
254192, 253nfcxfr 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x G
255254nfcnv 4991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x `' G
256 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { k }
257255, 256nfima 5151 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( `' G " { k } )
258 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )
259257, 258cleqf 2547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G " { k } )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' G " { k } )  <->  x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
260252, 259sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( `' G " { k } )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )
261260fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' G " { k } ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
262261oveq2d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) )  =  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
263262sumeq2dv 12424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
264213, 263eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
265264mpteq2dva 4236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) )
266265fveq1d 5670 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G
) ) `  j
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
) )
267175sumeq2sdv 12425 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) ) )
268 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
269 sumex 12408 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )  e. 
_V
270267, 268, 269fvmpt 5745 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
271178sumeq2sdv 12425 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
272270, 271eqtr4d 2422 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
) )
273266, 272sylan9eq 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j ) )
2741, 3, 9, 182, 184, 190, 273climfsum 12526 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
275 itg1val 19442 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
2764, 275syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
277274, 276breqtrrd 4179 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  ( S.1 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ifcif 3682   {csn 3757   U.cuni 3957   U_ciun 4035   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   ran crn 4819   "cima 4821    o. ccom 4822    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   supcsup 7380   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    +oocpnf 9050   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   NNcn 9932   ZZcz 10214   [,]cicc 10851    ~~> cli 12205   sum_csu 12406   vol *covol 19226   volcvol 19227   S.1citg1 19374
This theorem is referenced by:  itg2monolem1  19509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cmp 17372  df-ovol 19228  df-vol 19229  df-mbf 19379  df-itg1 19380
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