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Theorem itg1climres 19069
Description: Restricting the simple function  F to the increasing sequence  A ( n ) of measurable sets whose union is  RR yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1climres.1  |-  ( ph  ->  A : NN --> dom  vol )
itg1climres.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  ( A `  ( n  +  1 ) ) )
itg1climres.3  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  RR )
itg1climres.4  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
itg1climres.5  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
itg1climres  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  ( S.1 `  F
) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, F, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    G( x, n)

Proof of Theorem itg1climres
Dummy variables  j 
y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 itg1climres.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
5 i1frn 19032 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  Fin )
7 difss 3303 . . . 4  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
8 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
96, 7, 8sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
102a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  1  e.  ZZ )
11 i1fima 19033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
124, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
14 itg1climres.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A : NN --> dom  vol )
15 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A : NN --> dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  dom  vol )
1614, 15sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e. 
dom  vol )
1716adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  dom  vol )
18 inmbl 18899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol  /\  ( A `  n )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol )
1913, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol )
20 mblvol 18889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  =  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol * `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
22 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  C_  ( `' F " { k } )
2322a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } ) )
24 mblss 18890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { k } ) 
C_  RR )
2513, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " { k } )  C_  RR )
26 mblvol 18889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol * `  ( `' F " { k } ) ) )
2713, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol
* `  ( `' F " { k } ) ) )
28 i1fima2sn 19035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
294, 28sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
3029adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
3127, 30eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
32 ovolsscl 18845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } )  /\  ( `' F " { k } )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
3323, 25, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
3421, 33eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
35 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
3634, 35fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) : NN --> RR )
37 itg1climres.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  ( A `  ( n  +  1 ) ) )
3837adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  C_  ( A `  (
n  +  1 ) ) )
39 sslin 3395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  n ) 
C_  ( A `  ( n  +  1
) )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
4114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A : NN --> dom  vol )
42 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
43 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A : NN --> dom  vol  /\  ( n  +  1 )  e.  NN )  ->  ( A `  ( n  +  1
) )  e.  dom  vol )
4441, 42, 43syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  e.  dom  vol )
45 inmbl 18899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol  /\  ( A `  ( n  +  1 ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol )
4613, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol )
47 mblss 18890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) )  C_  RR )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  C_  RR )
49 ovolss 18844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  /\  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
5040, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
51 mblvol 18889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
5246, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( vol * `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
5350, 21, 523brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
5453ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
55 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
5655ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )
5756fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )
58 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  e.  _V
5957, 35, 58fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )
60 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
61 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
6261ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
6362fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
64 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6563, 35, 64fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
6660, 65syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
6759, 66breq12d 4036 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
6867ralbiia 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
69 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
7069fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
7170ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
7271fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7357, 72breq12d 4036 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )  <-> 
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
7473cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7568, 74bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
7654, 75sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
7776r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
78 ovolss 18844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } )  /\  ( `' F " { k } )  C_  RR )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol * `  ( `' F " { k } ) ) )
7922, 25, 78sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol * `  ( `' F " { k } ) ) )
8079, 21, 273brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8180ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8259breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8382ralbiia 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8457breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8584cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8683, 85bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8781, 86sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
88 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  -> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8988ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  -> 
( A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
9089rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
)
9129, 87, 90syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
)
921, 10, 36, 77, 91climsup 12143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  ~~>  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
93 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )
9419, 93fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) : NN --> dom  vol )
9540ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
96 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A `
 j )  e. 
_V
9796inex2 4156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  e.  _V
9856, 93, 97fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )
99 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A `
 ( j  +  1 ) )  e. 
_V
10099inex2 4156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  _V
10162, 93, 100fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10260, 101syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10398, 102sseq12d 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
104103ralbiia 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  (
j  +  1 ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10556, 71sseq12d 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
106105cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
107104, 106bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  (
j  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
10895, 107sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
109 volsup 18913 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
11094, 108, 109syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
11198iuneq2i 3923 . . . . . . . . . 10  |-  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U_ j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)
11256cbviunv 3941 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  =  U_ j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)
113 iunin2 3966 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
114111, 112, 1133eqtr2i 2309 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
115 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A : NN --> dom  vol  ->  A  Fn  NN )
116 fniunfv 5773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  U. ran  A )
11714, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  U. ran  A
)
118 itg1climres.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  RR )
119117, 118eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  RR )
120119adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  RR )
121120ineq2d 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR ) )
12212adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
123122, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } ) 
C_  RR )
124 df-ss 3166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { k } )  C_  RR  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR )  =  ( `' F " { k } ) )
125123, 124sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR )  =  ( `' F " { k } ) )
126121, 125eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)  =  ( `' F " { k } ) )
127114, 126syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  ( `' F " { k } ) )
128 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  Fn  NN )
129 fniunfv 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  Fn  NN  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
13094, 128, 1293syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
131127, 130eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } )  =  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
132131fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
133 frn 5395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  C_  RR )
13436, 133syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  C_  RR )
135 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  NN )
13636, 135syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  NN )
137 1nn 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
138 ne0i 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
139137, 138mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  NN  =/=  (/) )
140136, 139eqnetrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
141 dm0rn0 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  (/) 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  (/) )
142141necon3bii 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =/=  (/) 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
143140, 142sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
144 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  Fn  NN )
145 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  ->  ( z  <_  x 
<->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x ) )
146145ralrn 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
14736, 144, 1463syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
148147rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
14991, 148mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) z  <_  x )
150 supxrre 10646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x
)  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
151134, 143, 149, 150syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
152 rnco2 5180 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
153 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
154 volf 18888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
155154a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )
)
156155feqmptd 5575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  vol  =  (
y  e.  dom  vol  |->  ( vol `  y ) ) )
157 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  ->  ( vol `  y )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )
15819, 153, 156, 157fmptco 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
159158rneqd 4906 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )
160152, 159syl5reqr 2330 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )
161160supeq1d 7199 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
162151, 161eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
163110, 132, 1623eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
16492, 163breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  ~~>  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
165 i1ff 19031 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
166 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
1674, 165, 1663syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
1687, 167syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  RR )
169168sselda 3180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  k  e.  RR )
170169recnd 8861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  k  e.  CC )
171 nnex 9752 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
172171mptex 5746 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  e.  _V
173172a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  e.  _V )
174 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  e.  RR )
17536, 174sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  e.  RR )
176175recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  e.  CC )
17757oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) ) )
178 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
179 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) )  e.  _V
180177, 178, 179fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
18159oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
k  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
182180, 181eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) ) )
183182adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1841, 10, 164, 170, 173, 176, 183climmulc2 12110 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  ~~>  ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
185171mptex 5746 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  e. 
_V
186185a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  e.  _V )
187169adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
188187, 34remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  e.  RR )
189188, 178fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) : NN --> RR )
190 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) : NN --> RR  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  e.  RR )
191189, 190sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  RR )
192191recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
193192anasss 628 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
1944adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  e. 
dom  S.1 )
195 itg1climres.5 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
196195i1fres 19060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  ( A `  n
)  e.  dom  vol )  ->  G  e.  dom  S.1 )
197194, 16, 196syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e. 
dom  S.1 )
1989adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
F  \  { 0 } )  e.  Fin )
199 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
2004, 165, 1993syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
201200adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
202 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  ran  F
)
203201, 202sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
204 i1f0rn 19037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ran  F )
2054, 204syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  F
)
206205ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ran  F )
207 ifcl 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ran  F  /\  0  e.  ran  F )  ->  if (
x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ran  F )
208203, 206, 207syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ran  F
)
209208, 195fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : RR
--> ran  F )
210 frn 5395 . . . . . . . . 9  |-  ( G : RR --> ran  F  ->  ran  G  C_  ran  F )
211 ssdif 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
G  C_  ran  F  -> 
( ran  G  \  {
0 } )  C_  ( ran  F  \  {
0 } ) )
212209, 210, 2113syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
G  \  { 0 } )  C_  ( ran  F  \  { 0 } ) )
213167adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  F  C_  RR )
214 ssdif 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
F  C_  RR  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  C_  ( RR  \  { 0 } ) )
215213, 214syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ( RR  \  { 0 } ) )
216 itg1val2 19039 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  ( ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  G  \  { 0 } )  C_  ( ran  F  \  { 0 } )  /\  ( ran  F  \  { 0 } )  C_  ( RR  \  { 0 } ) ) )  -> 
( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) ) )
217197, 198, 212, 215, 216syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) ) )
218 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
219 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  _V
220218, 219ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
221195fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( G `  x
)  =  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
222220, 221mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  ( G `  x )  =  if ( x  e.  ( A `  n
) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
223222adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x
)  =  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
224223eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
if ( x  e.  ( A `  n
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  k ) )
225 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  k  =/=  0
)
226225ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  k  =/=  0 )
227 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  -> 
( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =/=  0  <->  k  =/=  0
) )
228226, 227syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  ->  if (
x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =/=  0 ) )
229 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  e.  ( A `
 n )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  0 )
230229necon1ai 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =/=  0  ->  x  e.  ( A `  n ) )
231228, 230syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  ->  x  e.  ( A `  n ) ) )
232231pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  <->  ( x  e.  ( A `  n
)  /\  if (
x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  k ) ) )
233224, 232bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
( x  e.  ( A `  n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k ) ) )
234 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A `  n )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
235234eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A `  n )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  <->  ( F `  x )  =  k ) )
236235pm5.32i 618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k )  <-> 
( x  e.  ( A `  n )  /\  ( F `  x )  =  k ) )
237 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  ( F `  x )  =  k )  <->  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) )
238236, 237bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k )  <-> 
( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n ) ) )
239233, 238syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
240239pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  ( G `  x )  =  k )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) ) ) )
241 anass 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) ) )
242240, 241syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  ( G `  x )  =  k )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
243 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
244 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
245197, 243, 2443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  Fn  RR )
246245adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  G  Fn  RR )
247 fniniseg 5646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' G " { k } )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( G `
 x )  =  k ) ) )
248246, 247syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' G " { k } )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( G `  x
)  =  k ) ) )
249 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  <->  ( x  e.  ( `' F " { k } )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) )
250201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  F  Fn  RR )
251 fniniseg 5646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  =  k ) ) )
252250, 251syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' F " { k } )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  =  k ) ) )
253252anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( `' F " { k } )  /\  x  e.  ( A `  n
) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
254249, 253syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
255242, 248, 2543bitr4d 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' G " { k } )  <-> 
x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )
256255alrimiv 1617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  A. x
( x  e.  ( `' G " { k } )  <->  x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
257 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
258195, 257nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x G
259258nfcnv 4860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x `' G
260 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { k }
261259, 260nfima 5020 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( `' G " { k } )
262 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )
263261, 262cleqf 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G " { k } )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' G " { k } )  <->  x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
264256, 263sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( `' G " { k } )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )
265264fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' G " { k } ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
266265oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) )  =  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
267266sumeq2dv 12176 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
268217, 267eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
269268mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) )
270269fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G
) ) `  j
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
) )
271177sumeq2sdv 12177 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) ) )
272 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
273 sumex 12160 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )  e. 
_V
274271, 272, 273fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
275180sumeq2sdv 12177 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
276274, 275eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
) )
277270, 276sylan9eq 2335 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j ) )
2781, 3, 9, 184, 186, 193, 277climfsum 12278 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
279 itg1val 19038 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
2804, 279syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
281278, 280breqtrrd 4049 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  ( S.1 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   [,]cicc 10659    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   vol *covol 18822   volcvol 18823   S.1citg1 18970
This theorem is referenced by:  itg2monolem1  19105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976
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