MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Unicode version

Theorem itg1ge0 19057
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  -> 
0  <_  ( S.1 `  F ) )

Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 19048 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
2 difss 3316 . . . . 5  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
3 ssfi 7099 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 643 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
6 i1ff 19047 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
76adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  ->  F : RR --> RR )
8 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  ->  ran  F  C_  RR )
102, 9syl5ss 3203 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  C_  RR )
1110sselda 3193 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
12 i1fima2sn 19051 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1312adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1411, 13remulcld 8879 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) )  ->  (
x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
15 eldifi 3311 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  x  e.  ran  F )
16 0cn 8847 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
17 fnconstg 5445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
19 df-0p 19041 . . . . . . . . . . . 12  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
2019fneq1i 5354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
2118, 20mpbir 200 . . . . . . . . . 10  |-  0 p  Fn  CC
2221a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0 p  Fn  CC )
23 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
246, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  Fn  RR )
25 cnex 8834 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
2625a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
27 reex 8844 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
2827a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
29 ax-resscn 8810 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
30 sseqin2 3401 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
3129, 30mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
32 0pval 19042 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 p `  y
)  =  0 )
3332adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0 p `
 y )  =  0 )
34 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
3522, 24, 26, 28, 31, 33, 34ofrfval 6102 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  F  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y )
) )
3635biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  ->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) )
3724adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  ->  F  Fn  RR )
38 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  ( F `  y ) ) )
3938ralrn 5684 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  RR  ->  ( A. x  e.  ran  F 0  <_  x  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y )
) )
4037, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  -> 
( A. x  e. 
ran  F 0  <_  x 
<-> 
A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) ) )
4136, 40mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  ->  A. x  e.  ran  F 0  <_  x )
4241r19.21bi 2654 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  F )  /\  x  e.  ran  F )  ->  0  <_  x
)
4315, 42sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) )  ->  0  <_  x )
44 i1fima 19049 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " { x } )  e.  dom  vol )
4544ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) )  ->  ( `' F " { x } )  e.  dom  vol )
46 mblss 18906 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { x } ) 
C_  RR )
47 ovolge0 18856 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " { x } )  C_  RR  ->  0  <_  ( vol * `
 ( `' F " { x } ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  0  <_  ( vol
* `  ( `' F " { x }
) ) )
49 mblvol 18905 . . . . . 6  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  ( `' F " { x } ) )  =  ( vol * `  ( `' F " { x } ) ) )
5048, 49breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  0  <_  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
5145, 50syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) )  ->  0  <_  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
5211, 13, 43, 51mulge0d 9365 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) )  ->  0  <_  ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
535, 14, 52fsumge0 12269 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  -> 
0  <_  sum_ x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
54 itg1val 19054 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
5554adantr 451 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
5653, 55breqtrrd 4065 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  F )  -> 
0  <_  ( S.1 `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Rcofr 6093   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    <_ cle 8884   sum_csu 12174   vol *covol 18838   volcvol 18839   S.1citg1 18986   0 pc0p 19040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-0p 19041
  Copyright terms: Public domain W3C validator