MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1sub Structured version   Unicode version

Theorem itg1sub 19603
Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1sub  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  o F  -  G
) )  =  ( ( S.1 `  F
)  -  ( S.1 `  G ) ) )

Proof of Theorem itg1sub
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  e.  dom  S.1 )
2 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  G  e.  dom  S.1 )
3 1re 9092 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
43renegcli 9364 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  -u 1  e.  RR )
62, 5i1fmulc 19597 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { -u 1 } )  o F  x.  G )  e. 
dom  S.1 )
71, 6itg1add 19595 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  o F  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  ( S.1 `  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G
) ) ) )
82, 5itg1mulc 19598 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) )  =  ( -u
1  x.  ( S.1 `  G ) ) )
9 itg1cl 19579 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
109recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  CC )
112, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  G
)  e.  CC )
1211mulm1d 9487 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( -u 1  x.  ( S.1 `  G
) )  =  -u ( S.1 `  G ) )
138, 12eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) )  =  -u ( S.1 `  G ) )
1413oveq2d 6099 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( S.1 `  F )  +  ( S.1 `  ( ( RR  X.  { -u
1 } )  o F  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) ) )
157, 14eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  o F  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) ) )
16 i1ff 19570 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
17 ax-resscn 9049 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
18 fss 5601 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : RR --> CC )
1916, 17, 18sylancl 645 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> CC )
20 i1ff 19570 . . . . 5  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
21 fss 5601 . . . . 5  |-  ( ( G : RR --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : RR --> CC )
2220, 17, 21sylancl 645 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> CC )
23 reex 9083 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
24 ofnegsub 10000 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  F : RR --> CC  /\  G : RR --> CC )  ->  ( F  o F  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) )  =  ( F  o F  -  G )
)
2523, 24mp3an1 1267 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> CC  /\  G : RR --> CC )  ->  ( F  o F  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) )  =  ( F  o F  -  G )
)
2619, 22, 25syl2an 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  o F  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) )  =  ( F  o F  -  G )
)
2726fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  o F  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) ) )  =  ( S.1 `  ( F  o F  -  G
) ) )
28 itg1cl 19579 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
2928recnd 9116 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  CC )
30 negsub 9351 . . 3  |-  ( ( ( S.1 `  F
)  e.  CC  /\  ( S.1 `  G )  e.  CC )  -> 
( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) )  =  ( ( S.1 `  F )  -  ( S.1 `  G ) ) )
3129, 10, 30syl2an 465 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( S.1 `  F )  +  -u ( S.1 `  G ) )  =  ( ( S.1 `  F )  -  ( S.1 `  G
) ) )
3215, 27, 313eqtr3d 2478 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  o F  -  G
) )  =  ( ( S.1 `  F
)  -  ( S.1 `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {csn 3816    X. cxp 4878   dom cdm 4880   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   CCcc 8990   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   -ucneg 9294   S.1citg1 19509
This theorem is referenced by:  itg1lea  19606  itgitg1  19702  itg2addnclem  26258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514  df-itg1 19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator