MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val Structured version   Unicode version

Theorem itg1val 19578
Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem itg1val
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rneq 5098 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ran  f  =  ran  F )
21difeq1d 3466 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( ran  f  \  { 0 } )  =  ( ran  F  \  {
0 } ) )
3 cnveq 5049 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
43imaeq1d 5205 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " {
x } )  =  ( `' F " { x } ) )
54fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( vol `  ( `' f
" { x }
) )  =  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
65oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
x  x.  ( vol `  ( `' f " { x } ) ) )  =  ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  x  e.  ( ran  f  \  { 0 } ) )  ->  (
x  x.  ( vol `  ( `' f " { x } ) ) )  =  ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
82, 7sumeq12dv 12505 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  sum_ x  e.  ( ran  f  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' f
" { x }
) ) )  = 
sum_ x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
9 df-itg1 19517 . . 3  |-  S.1  =  ( f  e.  {
g  e. MblFn  |  (
g : RR --> RR  /\  ran  g  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' g " ( RR  \  { 0 } ) ) )  e.  RR ) }  |->  sum_
x  e.  ( ran  f  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' f " {
x } ) ) ) )
10 sumex 12486 . . 3  |-  sum_ x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  _V
118, 9, 10fvmpt 5809 . 2  |-  ( F  e.  { g  e. MblFn  |  ( g : RR --> RR  /\  ran  g  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' g
" ( RR  \  { 0 } ) ) )  e.  RR ) }  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
12 sumex 12486 . . 3  |-  sum_ x  e.  ( ran  f  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' f
" { x }
) ) )  e. 
_V
1312, 9dmmpti 5577 . 2  |-  dom  S.1  =  { g  e. MblFn  | 
( g : RR --> RR  /\  ran  g  e. 
Fin  /\  ( vol `  ( `' g "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) }
1411, 13eleq2s 2530 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    \ cdif 3319   {csn 3816   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   RRcr 8994   0cc0 8995    x. cmul 9000   sum_csu 12484   volcvol 19365  MblFncmbf 19511   S.1citg1 19512
This theorem is referenced by:  itg1val2  19579  itg1cl  19580  itg1ge0  19581  itg10  19583  itg11  19586  itg1addlem5  19595  itg1mulc  19599  itg10a  19605  itg1ge0a  19606  itg1climres  19609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-sum 12485  df-itg1 19517
  Copyright terms: Public domain W3C validator