MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg20 Unicode version

Theorem itg20 19586
Description: The integral of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg20  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0

Proof of Theorem itg20
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f0 19536 . . 3  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  e.  dom  S.1
2 reex 9041 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
32a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  RR  e.  _V )
4 i1ff 19525 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  X.  { 0 } )  e.  dom  S.1 
->  ( RR  X.  {
0 } ) : RR --> RR )
51, 4ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  { 0 } ) : RR --> RR
65a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  X.  {
0 } ) : RR --> RR )
7 leid 9129 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  x )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  x )
93, 6, 8caofref 6293 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( RR  X.  { 0 } ) )
10 ax-resscn 9007 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
12 ffn 5554 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  X.  { 0 } ) : RR --> RR  ->  ( RR  X.  { 0 } )  Fn  RR )
136, 12syl 16 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  X.  {
0 } )  Fn  RR )
1411, 130pledm 19522 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 0 p  o R  <_  ( RR  X.  { 0 } )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( RR  X.  { 0 } ) ) )
159, 14mpbird 224 . . . 4  |-  (  T. 
->  0 p  o R  <_  ( RR  X.  { 0 } ) )
1615trud 1329 . . 3  |-  0 p  o R  <_  ( RR  X.  { 0 } )
17 itg2itg1 19585 . . 3  |-  ( ( ( RR  X.  {
0 } )  e. 
dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  ( RR  X.  { 0 } ) )  ->  ( S.2 `  ( RR  X.  { 0 } ) )  =  ( S.1 `  ( RR  X.  {
0 } ) ) )
181, 16, 17mp2an 654 . 2  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  ( S.1 `  ( RR  X.  { 0 } ) )
19 itg10 19537 . 2  |-  ( S.1 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
2018, 19eqtri 2428 1  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920    C_ wss 3284   {csn 3778   class class class wbr 4176    X. cxp 4839   dom cdm 4841    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417    o Rcofr 6267   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950    <_ cle 9081   S.1citg1 19464   S.2citg2 19465   0 pc0p 19518
This theorem is referenced by:  itg2mulc  19596  itg0  19628  itgz  19629  itgvallem3  19634  iblposlem  19640  bddmulibl  19687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-disj 4147  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-ofr 6269  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xadd 10671  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-xmet 16654  df-met 16655  df-ovol 19318  df-vol 19319  df-mbf 19469  df-itg1 19470  df-itg2 19471  df-0p 19519
  Copyright terms: Public domain W3C validator