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Theorem itg2add 19519
Description: The  S.2 integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2add  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )

Proof of Theorem itg2add
Dummy variables  f 
g  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.f2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
31, 2mbfi1fseq 19481 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4 itg2add.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
5 itg2add.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
64, 5mbfi1fseq 19481 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )
7 eeanv 1926 . . 3  |-  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  o R  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) ) )  <-> 
( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )
81adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
92adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
10 itg2add.f3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
124adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  G  e. MblFn )
135adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
14 itg2add.g3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
16 simprl1 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  f : NN --> dom  S.1 )
17 simprl2 1003 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) ) )
18 simprl3 1004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
19 simprr1 1005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  g : NN --> dom  S.1 )
20 simprr2 1006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  o R  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) ) )
21 simprr3 1007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) )
228, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21itg2addlem 19518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G )
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2322ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
2423exlimdvv 1644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
257, 24syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
263, 6, 25mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243    o Rcofr 6244   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    +oocpnf 9051    <_ cle 9055   NNcn 9933   [,)cico 10851    ~~> cli 12206  MblFncmbf 19374   S.1citg1 19375   S.2citg2 19376   0 pc0p 19429
This theorem is referenced by:  ibladdlem  19579  itgaddlem1  19582  iblabslem  19587  iblabs  19588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cmp 17373  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-0p 19430
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