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Theorem itg2add 19130
Description: The  S.2 integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2add  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )

Proof of Theorem itg2add
Dummy variables  f 
g  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.f2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
31, 2mbfi1fseq 19092 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4 itg2add.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
5 itg2add.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
64, 5mbfi1fseq 19092 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )
7 eeanv 1866 . . 3  |-  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  o R  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) ) )  <-> 
( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )
81adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
92adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
10 itg2add.f3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
124adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  G  e. MblFn )
135adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
14 itg2add.g3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
1514adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
16 simprl1 1000 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  f : NN --> dom  S.1 )
17 simprl2 1001 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) ) )
18 simprl3 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
19 simprr1 1003 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  g : NN --> dom  S.1 )
20 simprr2 1004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  o R  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) ) )
21 simprr3 1005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) )
228, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21itg2addlem 19129 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G )
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2322ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
2423exlimdvv 1627 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
257, 24syl5bir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
263, 6, 25mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880    <_ cle 8884   NNcn 9762   [,)cico 10674    ~~> cli 11974  MblFncmbf 18985   S.1citg1 18986   S.2citg2 18987   0 pc0p 19040
This theorem is referenced by:  ibladdlem  19190  itgaddlem1  19193  iblabslem  19198  iblabs  19199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-0p 19041
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