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Theorem itg2addlem 19129
Description: Lemma for itg2add 19130. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
itg2add.p1  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2add.p2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.p3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2add.q1  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
itg2add.q2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  o R  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.q3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2addlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, F    P, n, x    Q, n, x    n, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables  f 
g  j  k  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.g1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
31, 2mbfadd 19032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)
4 ge0addcl 10764 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
y  +  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
54adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  (
y  +  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
6 itg2add.f2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
7 itg2add.g2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
8 reex 8844 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
98a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 inidm 3391 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6109 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
12 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  f  e.  dom  S.1 )
13 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  g  e.  dom  S.1 )
1412, 13i1fadd 19066 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( f  o F  +  g )  e.  dom  S.1 )
1514adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( f  o F  +  g )  e. 
dom  S.1 )
16 itg2add.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
17 itg2add.q1 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
18 nnex 9768 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1918a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
20 inidm 3391 . . . 4  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 6109 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o F  o F  +  Q
) : NN --> dom  S.1 )
22 ge0addcl 10764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
f  +  g )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
2322adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( f  +  g )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
24 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `  m )  e.  dom  S.1 )
2516, 24sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
26 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
27 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
2827breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0 p  o R  <_  ( P `  n )  <->  0 p  o R  <_  ( P `
 m ) ) )
29 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
3029fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
3127, 30breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  o R  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3228, 31anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0 p  o R  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  o R  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3332rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  o R  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
3426, 33sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3534simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  ( P `  m )
)
36 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
0 p  o R  <_  f  <->  0 p  o R  <_  ( P `
 m ) ) )
37 feq1 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
3836, 37imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
( 0 p  o R  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )  <->  ( 0 p  o R  <_ 
( P `  m
)  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
39 i1ff 19047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
40 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f  Fn  RR )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  f )  -> 
f  Fn  RR )
43 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
44 fnconstg 5445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
46 df-0p 19041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
4746fneq1i 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0 p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4845, 47mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0 p  Fn  CC
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0 p  Fn  CC )
50 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
528a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
53 ax-resscn 8810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
54 sseqin2 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
5553, 54mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
56 0pval 19042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 p `  x
)  =  0 )
5756adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 p `
 x )  =  0 )
58 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  =  ( f `  x ) )
5949, 41, 51, 52, 55, 57, 58ofrfval 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  f  <->  A. x  e.  RR  0  <_  (
f `  x )
) )
6059biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )
61 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
6239, 61sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
63 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
f `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  x
) ) )
6463simplbi2 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( f `  x )  ->  (
f `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
6562, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( f `  x
)  ->  ( f `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
6665ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
6766imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6860, 67syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
69 ffnfv 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( f  Fn  RR  /\  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
7042, 68, 69sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  f )  -> 
f : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
7170ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
7238, 71vtoclga 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
7325, 35, 72sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
74 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q : NN --> dom  S.1  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `  m )  e.  dom  S.1 )
7517, 74sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  e. 
dom  S.1 )
76 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  o R  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  n )  =  ( Q `  m ) )
7877breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0 p  o R  <_  ( Q `  n )  <->  0 p  o R  <_  ( Q `
 m ) ) )
7929fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  ( n  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
8077, 79breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
)  o R  <_ 
( Q `  (
n  +  1 ) )  <->  ( Q `  m )  o R  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
8178, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0 p  o R  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  o R  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0 p  o R  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m )  o R  <_  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
8281rspccva 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  o R  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m
)  o R  <_ 
( Q `  (
m  +  1 ) ) ) )
8376, 82sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( Q `  m
)  /\  ( Q `  m )  o R  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
8483simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  ( Q `  m )
)
85 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
0 p  o R  <_  f  <->  0 p  o R  <_  ( Q `
 m ) ) )
86 feq1 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
8785, 86imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
( 0 p  o R  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )  <->  ( 0 p  o R  <_ 
( Q `  m
)  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
8887, 71vtoclga 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
8975, 84, 88sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
908a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
9123, 73, 89, 90, 90, 10off 6109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
92 0plef 19043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( (
( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0 p  o R  <_  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) ) )
9391, 92sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0 p  o R  <_  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) ) )
9493simprd 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  (
( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) )
95 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( P : NN --> dom  S.1  ->  P  Fn  NN )
9616, 95syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  Fn  NN )
97 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( Q : NN --> dom  S.1  ->  Q  Fn  NN )
9817, 97syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  Fn  NN )
99 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  =  ( P `  m
) )
100 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  =  ( Q `  m
) )
10196, 98, 19, 19, 20, 99, 100ofval 6103 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m )  =  ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) )
10294, 101breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)
103 i1ff 19047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
10425, 103syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
105 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  m
) : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( P `  m ) `  y
)  e.  RR )
106104, 105sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
107 i1ff 19047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  m ) : RR --> RR )
10875, 107syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> RR )
109 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q `  m
) : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Q `  m ) `  y
)  e.  RR )
110108, 109sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
111 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
112 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
11316, 111, 112syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
114 i1ff 19047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
115113, 114syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
116 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) ) : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  e.  RR )
117115, 116sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
118 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
11917, 111, 118syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
120 i1ff 19047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
121119, 120syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
122 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q `  (
m  +  1 ) ) : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
)  e.  RR )
123121, 122sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
12434simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
125 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
126104, 125syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
127 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
128115, 127syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
129 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
130 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
131126, 128, 90, 90, 10, 129, 130ofrfval 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
132124, 131mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
133132r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
13483simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  o R  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )
135 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  m ) : RR --> RR  ->  ( Q `  m )  Fn  RR )
136108, 135syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  Fn  RR )
137 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
138121, 137syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
139 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
140 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
141136, 138, 90, 90, 10, 139, 140ofrfval 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( Q `  m )  o R  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( Q `  m ) `  y
)  <_  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
142134, 141mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( Q `
 m ) `  y )  <_  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
143142r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  <_  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
144106, 110, 117, 123, 133, 143le2addd 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) )  <_  ( ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  +  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) ) )
145144ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
14625, 75i1fadd 19066 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1 )
147 i1ff 19047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR )
148 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
149146, 147, 1483syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
150113, 119i1fadd 19066 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1 )
151 i1ff 19047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  ( m  +  1
) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) : RR --> RR )
152150, 151syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR )
153 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  (
m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
154152, 153syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
155126, 136, 90, 90, 10, 129, 139ofval 6103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
156128, 138, 90, 90, 10, 130, 140ofval 6103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  ( m  +  1
) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
157149, 154, 90, 90, 10, 155, 156ofrfval 6102 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) )  o R  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) ) )
158145, 157mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) )  o R  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
159 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
160 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
16196, 98, 19, 19, 20, 159, 160ofval 6103 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) )  o F  +  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
162111, 161sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( P `  (
m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) )
163158, 101, 1623brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m )  o R  <_  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  ( m  +  1
) ) )
164102, 163jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )  /\  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )  o R  <_  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  ( m  +  1 ) ) ) )
165164ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m )  /\  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )  o R  <_  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  ( m  +  1 ) ) ) )
166 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )
167166fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y )  =  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )
168167cbvmptv 4127 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) `  y
) )
169 nnuz 10279 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
170 1z 10069 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
171170a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
172 itg2add.p3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
173 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
174173mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
175 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
176174, 175breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
177176rspccva 2896 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
178172, 177sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
17918mptex 5762 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V
180179a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V )
181 itg2add.q3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
182 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  n
) `  x )  =  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
183182mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) ) )
184 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
185183, 184breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
186185rspccva 2896 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) )
187181, 186sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( G `  y
) )
18827fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
189 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
190 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
191188, 189, 190fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
192191adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
193106an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
194192, 193eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
195194recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
19677fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
197 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
198 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m ) `
 y )  e. 
_V
199196, 197, 198fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
200199adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
201110an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
202200, 201eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
203202recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
204101fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
205204adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
206205, 155eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
207206an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
208 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) `  y
) )
209 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  e.  _V
210167, 208, 209fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )
211210adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )
212192, 200oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
) )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
213207, 211, 2123eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  y )
) `  m )
) )
214169, 171, 178, 180, 187, 195, 203, 213climadd 12121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
215168, 214syl5eqbrr 4073 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
216 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
2176, 216syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
218 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( G : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  G  Fn  RR )
2197, 218syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
220 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  y
) )
221 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  y
) )
222217, 219, 9, 9, 10, 220, 221ofval 6103 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( F  o F  +  G ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
223215, 222breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F  o F  +  G ) `  y
) )
224223ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) `  y
) )  ~~>  ( ( F  o F  +  G ) `  y
) )
225 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  j ) )
226225fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  j )
) )
227226cbvmptv 4127 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n )
) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  j ) ) )
228 itg2add.f3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
229 itg2add.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
230228, 229readdcld 8878 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
231101fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)  =  ( S.1 `  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) ) )
23225, 75itg1add 19072 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m
) )  +  ( S.1 `  ( Q `
 m ) ) ) )
233231, 232eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)  =  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) ) )
234 itg1cl 19056 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
23525, 234syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
236 itg1cl 19056 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( Q `
 m ) )  e.  RR )
23775, 236syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  RR )
238228adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
239229adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
2406adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,)  +oo ) )
241 rexr 8893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
242241anim1i 551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
243 elrege0 10762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
244 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
245242, 243, 2443imtr4i 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
246245ssriv 3197 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
247 fss 5413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
248240, 246, 247sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
2491, 6, 16, 26, 172itg2i1fseqle 19125 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  o R  <_  F )
250 itg2ub 19104 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( P `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  m )  o R  <_  F )  ->  ( S.1 `  ( P `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) )
251248, 25, 249, 250syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
2527adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,)  +oo ) )
253 fss 5413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
254252, 246, 253sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
2552, 7, 17, 76, 181itg2i1fseqle 19125 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  o R  <_  G )
256 itg2ub 19104 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( Q `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( Q `  m )  o R  <_  G )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m )
)  <_  ( S.2 `  G ) )
257254, 75, 255, 256syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
258235, 237, 238, 239, 251, 257le2addd 9406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
259233, 258eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
260259ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
261 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )  =  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  k ) )
262261fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  k )
) )
263262breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
264263rspccva 2896 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
265260, 264sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2663, 11, 21, 165, 224, 227, 230, 265itg2i1fseq2 19127 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) ) )
267170a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
268 eqid 2296 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )
2691, 6, 16, 26, 172, 268, 228itg2i1fseq3 19128 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  F
) )
27018mptex 5762 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n )
) )  e.  _V
271270a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  e.  _V )
272 eqid 2296 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )
2732, 7, 17, 76, 181, 272, 229itg2i1fseq3 19128 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  G
) )
274 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( P `  k )  =  ( P `  m ) )
275274fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
276 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  _V
277275, 268, 276fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
278277adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
279235recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  CC )
280278, 279eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
281 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  m ) )
282281fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( Q `  k ) )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
283 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  _V
284282, 272, 283fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
285284adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
286237recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  CC )
287285, 286eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
288 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  j )  =  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )
289288fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  j ) )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
) )
290 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)  e.  _V
291289, 227, 290fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) ) `
 m )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
) )
292291adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) ) `
 m )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
) )
293278, 285oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m )
)  +  ( S.1 `  ( Q `  m
) ) ) )
294233, 292, 2933eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) ) `
 m )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  k
) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m ) ) )
295169, 267, 269, 271, 273, 280, 287, 294climadd 12121 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
296 climuni 12042 . 2  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
297266, 295, 296syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   [,)cico 10674   [,]cicc 10675    ~~> cli 11974  MblFncmbf 18985   S.1citg1 18986   S.2citg2 18987   0 pc0p 19040
This theorem is referenced by:  itg2add  19130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-0p 19041
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