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Theorem itg2cnlem1 19132
Description: Lemma for itgcn 19213. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  F
) )
Distinct variable groups:    x, n, F    ph, n, x

Proof of Theorem itg2cnlem1
Dummy variables  m  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
2 c0ex 8848 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
31, 2ifex 3636 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
4 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
54fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( ( F `
 x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
63, 5mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
76mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
87rneqd 4922 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x ) )  =  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )
98supeq1d 7215 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )
109mpteq2ia 4118 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )
11 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ y sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )
12 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x NN
13 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1412, 13nfmpt 4124 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
15 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x m
1614, 15nffv 5548 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )
17 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
y
1816, 17nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
1912, 18nfmpt 4124 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
)
2019nfrn 4937 . . . . . 6  |-  F/_ x ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
)
21 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ x RR
22 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ x  <
2320, 21, 22nfsup 7218 . . . . 5  |-  F/_ x sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )
24 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
2524mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) ) )
26 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  x
)  <_  n  <->  ( F `  x )  <_  m
) )
2726ifbid 3596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
2827mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2928fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
3029cbvmptv 4127 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
31 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
32 reex 8844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
3332mptex 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  e.  _V
3428, 31, 33fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
3534fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 y ) )
3635mpteq2ia 4118 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
3730, 36eqtr4i 2319 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y ) )
3825, 37syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y ) ) )
3938rneqd 4922 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x ) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
) ) )
4039supeq1d 7215 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
4111, 23, 40cbvmpt 4126 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
4210, 41eqtr3i 2318 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )
43 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
4443breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
45 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  0  =  0 )
4644, 43, 45ifbieq12d 3600 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
4746cbvmptv 4127 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
4834adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
49 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
5049ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  m  e.  RR )
5150rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  m  e.  RR* )
52 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  RR*  ->  ( ( F `  y )  e.  ( m (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  m  < 
( F `  y
) ) ) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( m (,)  +oo )  <->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  m  < 
( F `  y
) ) ) )
54 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
55 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  RR )
58 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
y  e.  ( `' F " ( m (,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e.  ( m (,)  +oo ) ) ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( m (,)  +oo ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e.  ( m (,)  +oo ) ) ) )
60 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
6160biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( m (,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e.  ( m (,)  +oo ) ) ) )
6259, 61bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( m (,)  +oo ) )  <->  ( F `  y )  e.  ( m (,)  +oo )
) )
63 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
64 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +oo  e.  RR*
65 icossre 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
6663, 64, 65mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
67 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  F : RR
--> RR )
6854, 66, 67sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> RR )
70 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
7169, 70sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
7271biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
m  <  ( F `  y )  <->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  m  < 
( F `  y
) ) ) )
7353, 62, 723bitr4d 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( m (,)  +oo ) )  <->  m  <  ( F `  y ) ) )
7473notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  y  e.  ( `' F " ( m (,)  +oo ) )  <->  -.  m  <  ( F `  y
) ) )
75 eldif 3175 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,)  +oo ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  ( `' F "
( m (,)  +oo ) ) ) )
7675baib 871 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  <->  -.  y  e.  ( `' F "
( m (,)  +oo ) ) ) )
7776adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  <->  -.  y  e.  ( `' F "
( m (,)  +oo ) ) ) )
7871, 50lenltd 8981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( F `  y
)  <_  m  <->  -.  m  <  ( F `  y
) ) )
7974, 77, 783bitr4d 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
8079ifbid 3596 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
8180mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) ) )
8247, 48, 813eqtr4a 2354 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
83 difss 3316 . . . . . 6  |-  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  C_  RR
8483a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  C_  RR )
85 rembl 18914 . . . . . 6  |-  RR  e.  dom  vol
8685a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  dom  vol )
87 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
8887, 2ifex 3636 . . . . . 6  |-  if ( y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 )  e.  _V
8988a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) )  ->  if (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 )  e.  _V )
90 eldifn 3312 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) )  ->  -.  y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) )
9190adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  ( RR  \  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  -.  y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) )
92 iffalse 3585 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  ->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  0 )
9391, 92syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  ( RR  \  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  if (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 )  =  0 )
94 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,)  +oo ) ) )  ->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  ( F `
 y ) )
9594mpteq2ia 4118 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,)  +oo ) ) )  |->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  |->  ( F `  y ) )
96 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F "
( m (,)  +oo ) ) ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) 
|->  ( F `  y
) ) )
9783, 96ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F "
( m (,)  +oo ) ) ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) 
|->  ( F `  y
) )
9895, 97eqtr4i 2319 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,)  +oo ) ) )  |->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F "
( m (,)  +oo ) ) ) )
9954feqmptd 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
100 itg2cn.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
10199, 100eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  e. MblFn )
102 mbfima 19003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( m (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
103100, 68, 102syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( m (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
104 cmmbl 18908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " ( m (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( RR  \  ( `' F "
( m (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
105103, 104syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
106 mbfres 19015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  e. MblFn  /\  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F "
( m (,)  +oo ) ) ) )  e. MblFn )
107101, 105, 106syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) )  e. MblFn )
10898, 107syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) 
|->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
109108adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,)  +oo ) ) )  |->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
11084, 86, 89, 93, 109mbfss 19017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,)  +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 ) )  e. MblFn )
11182, 110eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  e. MblFn )
112 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11354, 112sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
114 0le0 9843 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
115 elrege0 10762 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
11663, 114, 115mpbir2an 886 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
117 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
118113, 116, 117sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
119118adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
120 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
121119, 120fmptd 5700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
12248feq1d 5395 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
123121, 122mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
124 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
125113, 124sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
126125simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
127126adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
128127adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
129128leidd 9355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
130 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  <_  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
131130adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  if (
( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
132 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  m  e.  NN )
133132, 49syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  m  e.  RR )
134 peano2re 9001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
135133, 134syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( m  +  1 )  e.  RR )
136 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( F `  x )  <_  m
)
137133lep1d 9704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  m  <_  ( m  +  1 ) )
138128, 133, 135, 136, 137letrd 8989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) )
139 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 )  ->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
140138, 139syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  if (
( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
141129, 131, 1403brtr4d 4069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  if (
( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
142 iffalse 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( F `  x
)  <_  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  0 )
143142adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( F `
 x )  <_  m )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  0 )
144125simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
145 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  x )  =  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  0  <_  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
146 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
147145, 146ifboth 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  0 )  ->  0  <_  if ( ( F `
 x )  <_ 
( m  +  1 ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
148144, 114, 147sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
149148adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( F `
 x )  <_ 
( m  +  1 ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
150149adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( F `
 x )  <_  m )  ->  0  <_  if ( ( F `
 x )  <_ 
( m  +  1 ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
151143, 150eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( F `
 x )  <_  m )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  if (
( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
152141, 151pm2.61dan 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  if (
( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
153152ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1541, 2ifex 3636 . . . . . . 7  |-  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
155154a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )
156 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )
157 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )
15886, 119, 155, 156, 157ofrfval2 6112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  if (
( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )
159153, 158mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
160 peano2nn 9774 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
161160adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
162 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  n  <->  ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ) )
163162ifbid 3596 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
164163mpteq2dv 4123 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
16532mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  e.  _V
166164, 31, 165fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
167161, 166syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
168159, 48, 1673brtr4d 4069 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  o R  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  (
m  +  1 ) ) )
16968, 70sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
17034adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
171170fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 y ) )
172126leidd 9355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
) )
173 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( ( F `  x )  <_  ( F `  x )  <->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
174 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
175173, 174ifboth 3609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
176172, 144, 175syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
177176adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
178177ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
17932a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
1801, 2ifex 3636 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
181180a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )
18254feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
183182adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
184179, 181, 127, 156, 183ofrfval2 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) ) )
185178, 184mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
186181, 120fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : RR --> _V )
187 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> _V  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
188186, 187syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  Fn  RR )
18956adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
190 inidm 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
191 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
192 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
193188, 189, 179, 179, 190, 191, 192ofrfval 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. y  e.  RR  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  y )  <_  ( F `  y ) ) )
194185, 193mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  y )  <_  ( F `  y ) )
195194r19.21bi 2654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
)  <_  ( F `  y ) )
196195an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
)  <_  ( F `  y ) )
197171, 196eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y )  <_ 
( F `  y
) )
198197ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
)  <_  ( F `  y ) )
199 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  (
( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )  <_  z  <->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
)  <_  ( F `  y ) ) )
200199ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
201200rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  (
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y )  <_ 
( F `  y
) )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
)  <_  z )
202169, 198, 201syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
)  <_  z )
20328fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
204203cbvmptv 4127 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
20534fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  ( S.2 `  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
206205mpteq2ia 4118 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
207204, 206eqtr4i 2319 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) ) )
208207rneqi 4921 . . . 4  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) ) )
209208supeq1i 7216 . . 3  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
21042, 111, 123, 168, 202, 209itg2mono 19124 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
211 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
21227, 211, 180fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  m
)  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
213212adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  m
)  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
214176adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
215213, 214eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  m
)  <_  ( F `  x ) )
216215ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  <_  ( F `  x ) )
2173a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )
218217, 211fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : NN --> _V )
219 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  NN )
220218, 219syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  Fn  NN )
221 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  ->  ( w  <_ 
( F `  x
)  <->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  <_  ( F `  x ) ) )
222221ralrn 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  NN  ->  ( A. w  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  ( F `  x )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  <_  ( F `  x ) ) )
223220, 222syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) w  <_  ( F `  x )  <->  A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  m
)  <_  ( F `  x ) ) )
224216, 223mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  ( F `  x ) )
225126adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
226 ifcl 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( ( F `
 x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
227225, 63, 226sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
228227, 211fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : NN --> RR )
229 frn 5411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) 
C_  RR )
230228, 229syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  C_  RR )
231 1nn 9773 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
232 fdm 5409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : NN --> RR  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  NN )
233228, 232syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  NN )
234231, 233syl5eleqr 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e. 
dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
235 n0i 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  ->  -.  dom  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  (/) )
236 dm0rn0 4911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  (/) )
237236necon3bbii 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/) )
238235, 237sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =/=  (/) )
239234, 238syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/) )
240 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  ( F `  x ) ) )
241240ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_ 
z  <->  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_ 
( F `  x
) ) )
242241rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  A. w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_ 
( F `  x
) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )
243126, 224, 242syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )
244 suprleub 9734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )  /\  ( F `  x
)  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  x )  <->  A. w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_ 
( F `  x
) ) )
245230, 239, 243, 126, 244syl31anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  x )  <->  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  ( F `  x ) ) )
246224, 245mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  x )
)
247 arch 9978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  RR  ->  E. m  e.  NN  ( F `  x )  <  m
)
248126, 247syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. m  e.  NN  ( F `  x )  <  m
)
249212ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  =  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
250 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  <  m  ->  ( F `  x
)  <_  m )
)
251126, 49, 250syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  <  m  ->  ( F `  x )  <_  m ) )
252251impr 602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( F `  x )  <_  m
)
253252, 130syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `  x
) )
254249, 253eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  =  ( F `  x ) )
255220adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  NN )
256 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  m  e.  NN )
257 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )
258255, 256, 257syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )
259254, 258eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( F `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
260259expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  <  m  ->  ( F `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
261260rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  NN  ( F `  x )  <  m  ->  ( F `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
262248, 261mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
263 suprub 9731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )  /\  ( F `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -> 
( F `  x
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )
264230, 239, 243, 262, 263syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )
265 suprcl 9730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
266230, 239, 243, 265syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
267266, 126letri3d 8977 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `
 x )  <->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  x )  /\  ( F `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
268246, 264, 267mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  x ) )
269268mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
270269, 182eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  F )
271270fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  ( S.2 `  F
) )
272210, 271eqtr3d 2330 1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Rcofr 6093   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   volcvol 18839  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987
This theorem is referenced by:  itg2cn  19134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993
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