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Theorem itg2const2 19594
Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
3 rpre 10582 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
43ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5 rpge0 10588 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  0  <_  B )
65ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
7 elrege0 10971 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
84, 6, 7sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
9 itg2const 19593 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  A ) ) )
101, 2, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  A ) ) )
114, 2remulcld 9080 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  e.  RR )
1210, 11eqeltrd 2486 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
13 mblvol 19387 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
1413ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol
* `  A )
)
15 mblss 19388 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1615ad3antrrr 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  A  C_  RR )
17 peano2re 9203 . . . . . . . 8  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
1817adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
19 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR+ )
2018, 19rerpdivcld 10639 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
22 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol * `
 A )  <_ 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
23 ovollecl 19340 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR  /\  ( vol * `  A )  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol * `
 A )  e.  RR )
2416, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol * `
 A )  e.  RR )
25 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  ->  A  e.  dom  vol )
2620adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
2726rexrd 9098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
293ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
3029rexrd 9098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
315ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
32 elxrge0 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
3330, 31, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
34 0xr 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR*
35 0le0 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  0
36 elxrge0 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3734, 35, 36mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
38 ifcl 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
3933, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
40 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
4139, 40fmptd 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
43 itg2ge0 19588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4528, 44ge0p1rpd 10638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
4645, 19rpdivcld 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR+ )
4746rpge0d 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
4914breq2d 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
)  <->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) ) )
5049biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) )
51 iccssxr 10957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
52 volf 19386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
5352ffvelrni 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
5451, 53sseldi 3314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
5525, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  RR* )
56 elicc1 10924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( vol `  A )  e. 
RR* )  ->  (
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) )  <->  ( (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) ) ) )
5734, 55, 56sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) )  <->  ( (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) ) ) )
5827, 48, 50, 57mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) ) )
59 volivth 19460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) ) )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
6025, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
6160ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )
62 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
z  e.  dom  vol )
63 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
6420adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
6563, 64eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol `  z
)  e.  RR )
663ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
6819adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
6968rpge0d 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
0  <_  B )
7067, 69, 7sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
71 itg2const 19593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  vol  /\  ( vol `  z
)  e.  RR  /\  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  z ) ) )
7262, 65, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  z ) ) )
7363oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( B  x.  ( vol `  z ) )  =  ( B  x.  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
7418recnd 9078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  CC )
7566recnd 9078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
76 rpne0 10591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  =/=  0 )
7776ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  =/=  0
)
7874, 75, 77divcan2d 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
7978adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( B  x.  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
8072, 73, 793eqtrd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
813adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
8281rexrd 9098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
835adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <_  B )
8482, 83, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
85 ifcl 3743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
8684, 37, 85sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( x  e.  z ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
88 eqid 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )
8987, 88fmptd 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
9089ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
9142adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
92 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ ) )
93 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  vol  /\  ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )  ->  z  C_  A )
9481ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  B  e.  RR )
9594leidd 9557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  B  <_  B )
96 iftrue 3713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  =  B )
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  =  B )
98 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  z  C_  A )
9998sselda 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  x  e.  A )
100 iftrue 3713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
10295, 97, 1013brtr4d 4210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
103 iffalse 3714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  =  0 )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  =  0 )
105 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
106 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
107105, 106ifboth 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )
10883, 35, 107sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )
109108ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
110104, 109eqbrtrd 4200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
111102, 110pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
112111ralrimiva 2757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A
)  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
113 reex 9045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  RR  e.  _V )
115 eqidd 2413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )
116 eqidd 2413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
117114, 87, 39, 115, 116ofrfval2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
118117biimpar 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
119112, 118syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A
)  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
12092, 93, 119syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
121 itg2le 19592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
12290, 91, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
12380, 122eqbrtrrd 4202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
124 ltp1 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
125124ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
126 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
12717ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
128126, 127ltnled 9184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <->  -.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
129125, 128mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  -.  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
130123, 129pm2.21dd 101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )
131130rexlimdvaa 2799 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  dom  vol ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol * `
 A )  e.  RR ) )
13261, 131syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
133132imp 419 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )
13454ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
13514, 134eqeltrrd 2487 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR* )
13620rexrd 9098 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )
137 xrletri 10708 . . . . 5  |-  ( ( ( vol * `  A )  e.  RR*  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )  ->  (
( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  \/  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) ) )
138135, 136, 137syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  A )  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  \/  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) ) )
13924, 133, 138mpjaodan 762 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
14014, 139eqeltrd 2486 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
14112, 140impbida 806 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   ifcif 3707   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Rcofr 6271   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    +oocpnf 9081   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085    / cdiv 9641   RR+crp 10576   [,)cico 10882   [,]cicc 10883   vol *covol 19320   volcvol 19321   S.2citg2 19469
This theorem is referenced by:  itg2gt0  19613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cc 8279  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-disj 4151  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-rest 13613  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-cmp 17412  df-cncf 18869  df-ovol 19322  df-vol 19323  df-mbf 19473  df-itg1 19474  df-itg2 19475  df-0p 19523
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