MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2eqa Structured version   Unicode version

Theorem itg2eqa 19637
Description: Approximate equality of integrals. If  F  =  G for almost all  x, then  S.2 F  = 
S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itg2eqa.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2eqa  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2eqa
StepHypRef Expression
1 itg2lea.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
2 itg2lea.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
3 itg2lea.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
4 itg2lea.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
5 iccssxr 10993 . . . . . 6  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
6 eldifi 3469 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
7 ffvelrn 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
81, 6, 7syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
95, 8sseldi 3346 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR* )
10 xrleid 10743 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  e.  RR*  ->  ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
12 itg2eqa.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
1311, 12breqtrd 4236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
141, 2, 3, 4, 13itg2lea 19636 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
1512, 11eqbrtrrd 4234 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
162, 1, 3, 4, 15itg2lea 19636 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
17 itg2cl 19624 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
181, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
19 itg2cl 19624 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )
202, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
21 xrletri3 10745 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  =  ( S.2 `  G
)  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G )  /\  ( S.2 `  G )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
2218, 20, 21syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_ 
( S.2 `  G )  /\  ( S.2 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) ) ) )
2314, 16, 22mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3317    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    <_ cle 9121   [,]cicc 10919   vol *covol 19359   S.2citg2 19508
This theorem is referenced by:  itgeqa  19705
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514
  Copyright terms: Public domain W3C validator