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Theorem itg2gt0 19115
Description: If the function  F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2gt0.2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itg2gt0.3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2gt0.4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2gt0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
itg2gt0  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    ph, x

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3 iccssxr 10732 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
4 volf 18888 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
54ffvelrni 5664 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
63, 5sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
72, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
10 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
11 fex 5749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 cnvexg 5208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
15 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )
1917, 18fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> _V )
20 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN )
22 fniunfv 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  = 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
25 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
26 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  +oo  e.  RR*
27 icossre 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2825, 26, 27mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
29 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  F : RR
--> RR )
309, 28, 29sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
31 mbfima 18987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3224, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3433, 18fmptd 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol )
35 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3634, 35sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3736ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
38 iunmbl 18910 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
4023, 39eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
41 mblss 18890 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  U.
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  RR )
4240, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR )
43 ovolcl 18837 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4442, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4544adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
46 0xr 8878 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4746a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  0  e.  RR* )
48 mblvol 18889 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
492, 48syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol
* `  A )
)
50 mblss 18890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
512, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5251sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
53 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
549, 53sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
55 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5654, 55sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5756simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
5852, 57syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
59 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
60 nnrecl 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( F `  x ) )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
6158, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  / 
k )  <  ( F `  x )
)
62 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
639, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
65 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
6752adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
6867biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
69 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
7170rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e. 
RR* )
7271adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR* )
73 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7566, 68, 743bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
76 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
77 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
7814, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
80 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
8180oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
) (,)  +oo )  =  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )
8281imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8382, 18fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8476, 79, 83syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8584eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  <->  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) )
8658adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8786biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
8875, 85, 873bitr4rd 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) ) )
8988rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9061, 89mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )
9190ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
92 eluni2 3831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z )
93 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9493rexrn 5667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9521, 94syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9692, 95syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9791, 96sylibrd 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
9897ssrdv 3185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
99 ovolss 18844 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  /\  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  A )  <_  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10098, 42, 99syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  <_  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10149, 100eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol * `
 U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
102101adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
103 mblvol 18889 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10440, 103syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
105 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
106105adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
107 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
109108rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
RR* )
110 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
111110adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
112111lep1d 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_ 
( k  +  1 ) )
113 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
114113adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
115106nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
116106nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
117 lerec 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( k  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
118111, 114, 115, 116, 117syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  <_  ( k  +  1 )  <->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
119112, 118mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) )
120 iooss1 10691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  (
1  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )  -> 
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo )  C_  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) 
+oo ) )
121109, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  C_  (
( 1  /  (
k  +  1 ) ) (,)  +oo )
)
122 imass2 5049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
) (,)  +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
123121, 122syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
12476, 78, 83syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
125 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
12614, 125syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
127 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
128127oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  n
) (,)  +oo )  =  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )
129128imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
130129, 18fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
131105, 126, 130syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
132123, 124, 1313sstr4d 3221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
133132ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
134 volsup 18913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13534, 133, 134syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
136104, 135eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
137136adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13878adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
13976, 138, 83syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
140139fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  =  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) )
14146a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  e.  RR* )
142 nnrecgt0 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  k
) )
143142adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  k
) )
144 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  k
)  ->  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14525, 70, 144sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  / 
k )  ->  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
146143, 145mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  k
) )
147 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
1  /  k )  e.  RR*  /\  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
14871, 146, 147sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
149 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  0
150 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
15146, 149, 150mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
152 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
153148, 151, 152sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
155 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
156154, 155fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
157156adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
158 itg2cl 19087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
159157, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
160 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
161160anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
162 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
163 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
164161, 162, 1633imtr4i 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
165164ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
166 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
1679, 165, 166sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
168 itg2cl 19087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
170169adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
171 0nrp 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  e.  RR+
172 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
173124, 36eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
174173adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
175174adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
176172, 25syl6eqelr 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
17770, 143elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR+ )
178177adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
179178adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR+ )
180 itg2const2 19096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
181175, 179, 180syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
182176, 181mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR )
183 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
1  /  k )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
18470, 146, 183sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
185184adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
186185adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
187 itg2const 19095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  /\  (
1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
188175, 182, 186, 187syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
189172, 188eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  =  ( ( 1  /  k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
190 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  <  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
191182, 190elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR+ )
192179, 191rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR+ )
193189, 192eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  e.  RR+ )
194193ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  0  e.  RR+ ) )
195171, 194mtoi 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  -.  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
196 itg2ge0 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
197157, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
198 xrleloe 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) ) )
19946, 159, 198sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) ) )
200197, 199mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
201200ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
202195, 201mt3d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
203167adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
20470adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR )
20563adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
206205, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
207206biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )
208207simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
20957adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
210208, 209syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
21171adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR* )
212207simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )
213 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
21473, 213syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) 
+oo )  ->  (
1  /  k )  <  ( F `  x ) ) )
215211, 212, 214sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
216204, 210, 215ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <_  ( F `  x ) )
21756simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
218217adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
219208, 218syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
220 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  /  k )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( ( 1  / 
k )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
221 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
222220, 221ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  k
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
223216, 219, 222syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
224223adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
225 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  0 )
226225adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  0 )
227218adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
228226, 227eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
229224, 228pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
230229ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
231230adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
23210a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
233 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
234 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
235233, 234ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  _V
236235a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  _V )
237 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
238237a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
239 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2409feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
241232, 236, 238, 239, 240ofrfval2 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
242241biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
243231, 242syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
244 itg2le 19094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
245157, 203, 243, 244syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
246141, 159, 170, 202, 245xrltletrd 10492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F
) )
247246expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F ) ) )
248247con3d 125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
2494ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2503, 249sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e. 
RR* )
251173, 250syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e. 
RR* )
252 xrlenlt 8890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
253251, 46, 252sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
254248, 253sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 ) )
255254imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 )
256255an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 )
257140, 256eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 )
258257ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 )
259 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) ) )
260259breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( ( vol `  z
)  <_  0  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) )  <_ 
0 ) )
261260ralrn 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
26219, 20, 2613syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
263262adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
264258, 263mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0 )
265 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  vol  Fn 
dom  vol )
2664, 265ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  vol  Fn  dom  vol
267 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )
26834, 267syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )
269268adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  dom  vol )
270 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( vol `  z
)  ->  ( x  <_  0  <->  ( vol `  z
)  <_  0 ) )
271270ralima 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
272266, 269, 271sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
273264, 272mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
)
274 imassrn 5025 . . . . . . . . 9  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) 
C_  ran  vol
275 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo ) )
2764, 275ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo )
277276, 3sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  ran  vol  C_ 
RR*
278274, 277sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) 
C_  RR*
279 supxrleub 10645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
) )
280278, 46, 279mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
)
281273, 280sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0 )
282137, 281eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  <_  0 )
2838, 45, 47, 102, 282xrletrd 10493 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
0 )
284283ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  ( vol `  A
)  <_  0 ) )
285 xrlenlt 8890 . . . 4  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
2867, 46, 285sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
287284, 286sylibd 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  A ) ) )
2881, 287mt4d 130 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Rcofr 6077   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   vol *covol 18822   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   S.2citg2 18971
This theorem is referenced by:  itggt0  19196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-0p 19025
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