Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq Structured version   Unicode version

Theorem itg2i1fseq 19639
 Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 19605, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 MblFn
itg2i1fseq.2
itg2i1fseq.3
itg2i1fseq.4
itg2i1fseq.5
itg2i1fseq.6
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.2 . . . . . 6
21feqmptd 5771 . . . . 5
3 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
43fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10
54cbvmptv 4292 . . . . . . . . 9
65rneqi 5088 . . . . . . . 8
76supeq1i 7444 . . . . . . 7
8 nnuz 10513 . . . . . . . . 9
9 1z 10303 . . . . . . . . . 10
109a1i 11 . . . . . . . . 9
11 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . 14
1211ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13
13 i1ff 19560 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1514ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11
1615an32s 780 . . . . . . . . . 10
1716, 5fmptd 5885 . . . . . . . . 9
18 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
193breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2120fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
223, 21breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2319, 22anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . 15
2518, 24sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
2625simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13
27 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15
2814, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
29 peano2nn 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3111, 29, 30syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 i1ff 19560 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
36 reex 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
38 inidm 3542 . . . . . . . . . . . . . 14
39 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
40 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
4128, 35, 37, 37, 38, 39, 40ofrfval 6305 . . . . . . . . . . . . 13
4226, 41mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
4342r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . 11
4443an32s 780 . . . . . . . . . 10
45 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
46 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12
474, 45, 46fvmpt 5798 . . . . . . . . . . 11
4847adantl 453 . . . . . . . . . 10
49 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14
5049fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . 13
51 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . 13
5250, 45, 51fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . 12
5329, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11
5453adantl 453 . . . . . . . . . 10
5544, 48, 543brtr4d 4234 . . . . . . . . 9
56 0re 9083 . . . . . . . . . . . . 13
57 pnfxr 10705 . . . . . . . . . . . . 13
58 icossre 10983 . . . . . . . . . . . . 13
5956, 57, 58mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12
601ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . 12
6159, 60sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11
62 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 MblFn
63 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 1, 11, 18, 63itg2i1fseqle 19638 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
661, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6928, 67, 37, 37, 38, 39, 68ofrfval 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15
7064, 69mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
7170r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . . . 13
7271an32s 780 . . . . . . . . . . . 12
7372ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11
74 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . 13
7574ralbidv 2717 . . . . . . . . . . . 12
7675rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11
7761, 73, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
7847breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12
7978ralbiia 2729 . . . . . . . . . . 11
8079rexbii 2722 . . . . . . . . . 10
8177, 80sylibr 204 . . . . . . . . 9
828, 10, 17, 55, 81climsup 12455 . . . . . . . 8
83 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12
8483mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . 11
85 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
8684, 85breq12d 4217 . . . . . . . . . 10
8786rspccva 3043 . . . . . . . . 9
8863, 87sylan 458 . . . . . . . 8
89 climuni 12338 . . . . . . . 8
9082, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . 7
917, 90syl5eqr 2481 . . . . . 6
9291mpteq2dva 4287 . . . . 5
932, 92eqtr4d 2470 . . . 4
943fveq1d 5722 . . . . . . . . 9
9594cbvmptv 4292 . . . . . . . 8
96 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
9796mpteq2dv 4288 . . . . . . . 8
9895, 97syl5eq 2479 . . . . . . 7
9998rneqd 5089 . . . . . 6
10099supeq1d 7443 . . . . 5
101100cbvmptv 4292 . . . 4
10293, 101syl6eqr 2485 . . 3
103102fveq2d 5724 . 2
10425simpld 446 . . . . . . . . 9
105 itg2itg1 19620 . . . . . . . . 9
10612, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . 8
107106mpteq2dva 4287 . . . . . . 7
108 itg2i1fseq.6 . . . . . . 7
109107, 108syl6reqr 2486 . . . . . 6
1103fveq2d 5724 . . . . . . 7
111110cbvmptv 4292 . . . . . 6
112109, 111syl6eqr 2485 . . . . 5
113112rneqd 5089 . . . 4
114113supeq1d 7443 . . 3
115 i1fmbf 19559 . . . . 5 MblFn
11612, 115syl 16 . . . 4 MblFn
117 0plef 19556 . . . . 5
11814, 104, 117sylanbrc 646 . . . 4
119111rneqi 5088 . . . . 5
120119supeq1i 7444 . . . 4
121101, 116, 118, 26, 77, 120itg2mono 19637 . . 3
122114, 121eqtr4d 2470 . 2
123103, 122eqtr4d 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cdm 4870   crn 4871   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cofr 6296  csup 7437  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cpnf 9109  cxr 9111   clt 9112   cle 9113  cn 9992  cz 10274  cico 10910   cli 12270  MblFncmbf 19498  citg1 19499  citg2 19500  c0p 19553 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  19640 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-0p 19554
 Copyright terms: Public domain W3C validator