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Theorem itg2i1fseq 19126
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 19092, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, F    P, m, n, x    ph, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
21feqmptd 5591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
3 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
43fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
54cbvmptv 4127 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) )
65rneqi 4921 . . . . . . . 8  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
)
76supeq1i 7216 . . . . . . 7  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
8 nnuz 10279 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9 1z 10069 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
109a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
11 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
12 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `  m )  e.  dom  S.1 )
1311, 12sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
14 i1ff 19047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
16 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P `  m
) : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( P `  m ) `  y
)  e.  RR )
1715, 16sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
1817an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
1918, 5fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) : NN --> RR )
20 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
213breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
0 p  o R  <_  ( P `  n )  <->  0 p  o R  <_  ( P `
 m ) ) )
22 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
2322fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
243, 23breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  o R  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2521, 24anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0 p  o R  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  o R  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
2625rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  o R  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
2720, 26sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2827simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
29 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
3015, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
31 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
32 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
3311, 31, 32syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
34 i1ff 19047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
36 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
38 reex 8844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
40 inidm 3391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
41 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
42 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
4330, 37, 39, 39, 40, 41, 42ofrfval 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
4428, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
4544r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
4645an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
47 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
48 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
494, 47, 48fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
5049adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
51 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
5251fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
53 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
5452, 47, 53fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5531, 54syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5655adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5746, 50, 563brtr4d 4069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( m  +  1 ) ) )
58 0re 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
59 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +oo  e.  RR*
60 icossre 10746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
6158, 59, 60mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
62 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
631, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6461, 63sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
65 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
66 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
6765, 1, 11, 20, 66itg2i1fseqle 19125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  o R  <_  F )
68 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
691, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
71 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
7230, 70, 39, 39, 40, 41, 71ofrfval 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o R  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
7367, 72mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
7473r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
7574an32s 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
7675ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
77 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  ( ( P `  m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
7877ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
7978rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
8064, 76, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
8149breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  <_  z  <->  ( ( P `  m
) `  y )  <_  z ) )
8281ralbiia 2588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
8382rexbii 2581 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
8480, 83sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 m )  <_ 
z )
858, 10, 19, 57, 84climsup 12159 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
86 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
8786mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
88 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
8987, 88breq12d 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
9089rspccva 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
9166, 90sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
92 climuni 12042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
9385, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
947, 93syl5eqr 2342 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
9594mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
962, 95eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
973fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  x ) )
9897cbvmptv 4127 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  x ) )
99 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  m
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
10099mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
10198, 100syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
102101rneqd 4922 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) )
103102supeq1d 7215 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
104103cbvmptv 4127 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )
10596, 104syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
106105fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
10727simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  ( P `  m )
)
108 itg2itg1 19107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  ( P `  m ) )  -> 
( S.2 `  ( P `
 m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
10913, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( P `  m
) )  =  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
110109mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  m
) ) ) )
111 itg2i1fseq.6 . . . . . . 7  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
112110, 111syl6reqr 2347 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  m
) ) ) )
1133fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( P `  n ) )  =  ( S.2 `  ( P `  m )
) )
114113cbvmptv 4127 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
115112, 114syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) ) )
116115rneqd 4922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) )
117116supeq1d 7215 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
118 i1fmbf 19046 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m )  e. MblFn )
11913, 118syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. MblFn
)
120 0plef 19043 . . . . 5  |-  ( ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( ( P `  m ) : RR --> RR  /\  0 p  o R  <_  ( P `  m )
) )
12115, 107, 120sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
122114rneqi 4921 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
123122supeq1i 7216 . . . 4  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
124104, 119, 121, 28, 80, 123itg2mono 19124 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
125117, 124eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
126106, 125eqtr4d 2331 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Rcofr 6093   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   [,)cico 10674    ~~> cli 11974  MblFncmbf 18985   S.1citg1 18986   S.2citg2 18987   0 pc0p 19040
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  19127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-0p 19041
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