Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq Unicode version

Theorem itg2i1fseq 19110
 Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 19076, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 MblFn
itg2i1fseq.2
itg2i1fseq.3
itg2i1fseq.4
itg2i1fseq.5
itg2i1fseq.6
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.2 . . . . . 6
21feqmptd 5575 . . . . 5
3 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
43fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10
54cbvmptv 4111 . . . . . . . . 9
65rneqi 4905 . . . . . . . 8
76supeq1i 7200 . . . . . . 7
8 nnuz 10263 . . . . . . . . 9
9 1z 10053 . . . . . . . . . 10
109a1i 10 . . . . . . . . 9
11 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . 14
12 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
14 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . 13
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . . 12
16 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16sylan 457 . . . . . . . . . . 11
1817an32s 779 . . . . . . . . . 10
1918, 5fmptd 5684 . . . . . . . . 9
20 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
213breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2322fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
243, 23breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2521, 24anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . 15
2720, 26sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
2827simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13
29 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . 15
3015, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
31 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3311, 31, 32syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . 15
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
38 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
40 inidm 3378 . . . . . . . . . . . . . 14
41 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14
42 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14
4330, 37, 39, 39, 40, 41, 42ofrfval 6086 . . . . . . . . . . . . 13
4428, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
4544r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . 11
4645an32s 779 . . . . . . . . . 10
47 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
48 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12
494, 47, 48fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11
5049adantl 452 . . . . . . . . . 10
51 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
5251fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13
53 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 47, 53fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12
5531, 54syl 15 . . . . . . . . . . 11
5655adantl 452 . . . . . . . . . 10
5746, 50, 563brtr4d 4053 . . . . . . . . 9
58 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13
59 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . 13
60 icossre 10730 . . . . . . . . . . . . 13
6158, 59, 60mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13
631, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11
65 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 MblFn
66 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 1, 11, 20, 66itg2i1fseqle 19109 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
691, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7230, 70, 39, 39, 40, 41, 71ofrfval 6086 . . . . . . . . . . . . . . 15
7367, 72mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14
7473r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . 13
7574an32s 779 . . . . . . . . . . . 12
7675ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11
77 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13
7877ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12
7978rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11
8064, 76, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
8149breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12
8281ralbiia 2575 . . . . . . . . . . 11
8382rexbii 2568 . . . . . . . . . 10
8480, 83sylibr 203 . . . . . . . . 9
858, 10, 19, 57, 84climsup 12143 . . . . . . . 8
86 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
8786mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . 11
88 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
8987, 88breq12d 4036 . . . . . . . . . 10
9089rspccva 2883 . . . . . . . . 9
9166, 90sylan 457 . . . . . . . 8
92 climuni 12026 . . . . . . . 8
9385, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . 7
947, 93syl5eqr 2329 . . . . . 6
9594mpteq2dva 4106 . . . . 5
962, 95eqtr4d 2318 . . . 4
973fveq1d 5527 . . . . . . . . 9
9897cbvmptv 4111 . . . . . . . 8
99 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
10099mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8
10198, 100syl5eq 2327 . . . . . . 7
102101rneqd 4906 . . . . . 6
103102supeq1d 7199 . . . . 5
104103cbvmptv 4111 . . . 4
10596, 104syl6eqr 2333 . . 3
106105fveq2d 5529 . 2
10727simpld 445 . . . . . . . . 9
108 itg2itg1 19091 . . . . . . . . 9
10913, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . 8
110109mpteq2dva 4106 . . . . . . 7
111 itg2i1fseq.6 . . . . . . 7
112110, 111syl6reqr 2334 . . . . . 6
1133fveq2d 5529 . . . . . . 7
114113cbvmptv 4111 . . . . . 6
115112, 114syl6eqr 2333 . . . . 5
116115rneqd 4906 . . . 4
117116supeq1d 7199 . . 3
118 i1fmbf 19030 . . . . 5 MblFn
11913, 118syl 15 . . . 4 MblFn
120 0plef 19027 . . . . 5
12115, 107, 120sylanbrc 645 . . . 4
122114rneqi 4905 . . . . 5
123122supeq1i 7200 . . . 4
124104, 119, 121, 28, 80, 123itg2mono 19108 . . 3
125117, 124eqtr4d 2318 . 2
126106, 125eqtr4d 2318 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   wss 3152   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cdm 4689   crn 4690   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cofr 6077  csup 7193  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   cle 8868  cn 9746  cz 10024  cico 10658   cli 11958  MblFncmbf 18969  citg1 18970  citg2 18971  c0p 19024 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  19111 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-0p 19025
 Copyright terms: Public domain W3C validator