MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Unicode version

Theorem itg2i1fseq2 19648
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 19647, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching  F, then  S.2 F is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
itg2i1fseq2.7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
itg2i1fseq2.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Distinct variable groups:    k, m, n, x, F    k, M, n    P, k, m, n, x    ph, k, m    S, k
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)    M( x, m)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10521 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10311 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 itg2i1fseq.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
54ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
6 itg1cl 19577 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
8 itg2i1fseq.6 . . . 4  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
97, 8fmptd 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
104ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
11 peano2nn 10012 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
12 ffvelrn 5868 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
134, 11, 12syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
14 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
15 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
1615ralimi 2781 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
18 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
19 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2019fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2118, 20breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  o R  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
2221rspccva 3051 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2317, 22sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
24 itg1le 19605 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  k
)  e.  dom  S.1  /\  ( P `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  k
)  o R  <_ 
( P `  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  <_ 
( S.1 `  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )
2510, 13, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
26 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( P `  m )  =  ( P `  k ) )
2726fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
28 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  k
) )  e.  _V
2927, 8, 28fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
3029adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
31 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3231fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
33 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( S.1 `  ( P `  (
k  +  1 ) ) )  e.  _V
3432, 8, 33fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3511, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3635adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3725, 30, 363brtr4d 4242 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( S `  (
k  +  1 ) ) )
38 itg2i1fseq2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
39 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
4030, 39eqbrtrd 4232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  M )
4140ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )
42 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (
( S `  k
)  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  M
) )
4342ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M
) )
4443rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
)
4538, 41, 44syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z )
461, 3, 9, 37, 45climsup 12463 . 2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
47 itg2i1fseq.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
48 itg2i1fseq.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
49 itg2i1fseq.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
5047, 48, 4, 14, 49, 8itg2i1fseq 19647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
51 frn 5597 . . . . 5  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
529, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
53 fdm 5595 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  dom 
S  =  NN )
549, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  =  NN )
55 1nn 10011 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
56 ne0i 3634 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
5755, 56mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  =/=  (/) )
5854, 57eqnetrd 2619 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =/=  (/) )
59 dm0rn0 5086 . . . . . 6  |-  ( dom 
S  =  (/)  <->  ran  S  =  (/) )
6059necon3bii 2633 . . . . 5  |-  ( dom 
S  =/=  (/)  <->  ran  S  =/=  (/) )
6158, 60sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =/=  (/) )
62 ffn 5591 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
63 breq1 4215 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( S `  k )  ->  (
y  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  z
) )
6463ralrn 5873 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
) )
659, 62, 643syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6665rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  RR  A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6745, 66mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_  z )
68 supxrre 10906 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR  /\ 
ran  S  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_ 
z )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
6952, 61, 67, 68syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
7050, 69eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
7146, 70breqtrrd 4238 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Rcofr 6304   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   ZZcz 10282   [,)cico 10918    ~~> cli 12278  MblFncmbf 19506   S.1citg1 19507   S.2citg2 19508   0 pc0p 19561
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  19649  itg2addlem  19650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-0p 19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator