MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Unicode version

Theorem itg2i1fseq2 19111
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 19110, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching  F, then  S.2 F is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
itg2i1fseq2.7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
itg2i1fseq2.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Distinct variable groups:    k, m, n, x, F    k, M, n    P, k, m, n, x    ph, k, m    S, k
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)    M( x, m)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 itg2i1fseq.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
5 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `  m )  e.  dom  S.1 )
64, 5sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
7 itg1cl 19040 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
9 itg2i1fseq.6 . . . 4  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
108, 9fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
11 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  e.  dom  S.1 )
124, 11sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
13 peano2nn 9758 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
14 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
154, 13, 14syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
16 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
17 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
1817ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
1916, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
21 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2221fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2320, 22breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  o R  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
2423rspccva 2883 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2519, 24sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
26 itg1le 19068 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  k
)  e.  dom  S.1  /\  ( P `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  k
)  o R  <_ 
( P `  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  <_ 
( S.1 `  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )
2712, 15, 25, 26syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
28 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( P `  m )  =  ( P `  k ) )
2928fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
30 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  k
) )  e.  _V
3129, 9, 30fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
3231adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
33 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3433fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
35 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( S.1 `  ( P `  (
k  +  1 ) ) )  e.  _V
3634, 9, 35fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3713, 36syl 15 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3837adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3927, 32, 383brtr4d 4053 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( S `  (
k  +  1 ) ) )
40 itg2i1fseq2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
41 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
4232, 41eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  M )
4342ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )
44 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (
( S `  k
)  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  M
) )
4544ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M
) )
4645rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
)
4740, 43, 46syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z )
481, 3, 10, 39, 47climsup 12143 . 2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
49 itg2i1fseq.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
50 itg2i1fseq.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
51 itg2i1fseq.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
5249, 50, 4, 16, 51, 9itg2i1fseq 19110 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
53 frn 5395 . . . . 5  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
5410, 53syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
55 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  dom 
S  =  NN )
5610, 55syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  =  NN )
57 1nn 9757 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
58 ne0i 3461 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
5957, 58mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  =/=  (/) )
6056, 59eqnetrd 2464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =/=  (/) )
61 dm0rn0 4895 . . . . . 6  |-  ( dom 
S  =  (/)  <->  ran  S  =  (/) )
6261necon3bii 2478 . . . . 5  |-  ( dom 
S  =/=  (/)  <->  ran  S  =/=  (/) )
6360, 62sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =/=  (/) )
64 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
65 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( S `  k )  ->  (
y  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  z
) )
6665ralrn 5668 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
) )
6710, 64, 663syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6867rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  RR  A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6947, 68mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_  z )
70 supxrre 10646 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR  /\ 
ran  S  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_ 
z )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
7154, 63, 69, 70syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
7252, 71eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
7348, 72breqtrrd 4049 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Rcofr 6077   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   [,)cico 10658    ~~> cli 11958  MblFncmbf 18969   S.1citg1 18970   S.2citg2 18971   0 pc0p 19024
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  19112  itg2addlem  19113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-0p 19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator