Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Unicode version

Theorem itg2i1fseq2 19127
 Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 19126, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching , then is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 MblFn
itg2i1fseq.2
itg2i1fseq.3
itg2i1fseq.4
itg2i1fseq.5
itg2i1fseq.6
itg2i1fseq2.7
itg2i1fseq2.8
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . 3
2 1z 10069 . . . 4
32a1i 10 . . 3
4 itg2i1fseq.3 . . . . . 6
5 ffvelrn 5679 . . . . . 6
64, 5sylan 457 . . . . 5
7 itg1cl 19056 . . . . 5
86, 7syl 15 . . . 4
9 itg2i1fseq.6 . . . 4
108, 9fmptd 5700 . . 3
11 ffvelrn 5679 . . . . . 6
124, 11sylan 457 . . . . 5
13 peano2nn 9774 . . . . . 6
14 ffvelrn 5679 . . . . . 6
154, 13, 14syl2an 463 . . . . 5
16 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7
17 simpr 447 . . . . . . . 8
1817ralimi 2631 . . . . . . 7
1916, 18syl 15 . . . . . 6
20 fveq2 5541 . . . . . . . 8
21 oveq1 5881 . . . . . . . . 9
2221fveq2d 5545 . . . . . . . 8
2320, 22breq12d 4052 . . . . . . 7
2423rspccva 2896 . . . . . 6
2519, 24sylan 457 . . . . 5
26 itg1le 19084 . . . . 5
2712, 15, 25, 26syl3anc 1182 . . . 4
28 fveq2 5541 . . . . . . 7
2928fveq2d 5545 . . . . . 6
30 fvex 5555 . . . . . 6
3129, 9, 30fvmpt 5618 . . . . 5
3231adantl 452 . . . 4
33 fveq2 5541 . . . . . . . 8
3433fveq2d 5545 . . . . . . 7
35 fvex 5555 . . . . . . 7
3634, 9, 35fvmpt 5618 . . . . . 6
3713, 36syl 15 . . . . 5
3837adantl 452 . . . 4
3927, 32, 383brtr4d 4069 . . 3
40 itg2i1fseq2.7 . . . 4
41 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6
4232, 41eqbrtrd 4059 . . . . 5
4342ralrimiva 2639 . . . 4
44 breq2 4043 . . . . . 6
4544ralbidv 2576 . . . . 5
4645rspcev 2897 . . . 4
4740, 43, 46syl2anc 642 . . 3
481, 3, 10, 39, 47climsup 12159 . 2
49 itg2i1fseq.1 . . . 4 MblFn
50 itg2i1fseq.2 . . . 4
51 itg2i1fseq.5 . . . 4
5249, 50, 4, 16, 51, 9itg2i1fseq 19126 . . 3
53 frn 5411 . . . . 5
5410, 53syl 15 . . . 4
55 fdm 5409 . . . . . . 7
5610, 55syl 15 . . . . . 6
57 1nn 9773 . . . . . . 7
58 ne0i 3474 . . . . . . 7
5957, 58mp1i 11 . . . . . 6
6056, 59eqnetrd 2477 . . . . 5
61 dm0rn0 4911 . . . . . 6
6261necon3bii 2491 . . . . 5
6360, 62sylib 188 . . . 4
64 ffn 5405 . . . . . . 7
65 breq1 4042 . . . . . . . 8
6665ralrn 5684 . . . . . . 7
6710, 64, 663syl 18 . . . . . 6
6867rexbidv 2577 . . . . 5
6947, 68mpbird 223 . . . 4
70 supxrre 10662 . . . 4
7154, 63, 69, 70syl3anc 1182 . . 3
7252, 71eqtrd 2328 . 2
7348, 72breqtrrd 4065 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705   crn 4706   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cofr 6093  csup 7209  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cn 9762  cz 10040  cico 10674   cli 11974  MblFncmbf 18985  citg1 18986  citg2 18987  c0p 19040 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  19128  itg2addlem  19129 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-0p 19041
 Copyright terms: Public domain W3C validator