MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq3 Unicode version

Theorem itg2i1fseq3 19165
Description: Special case of itg2i1fseq2 19164: if the integral of  F is a real number, then the standard limit relation holds on the integrals of simple functions approaching 
F. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
itg2i1fseq3.7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq3  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Distinct variable groups:    m, n, x, F    P, m, n, x    ph, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2i1fseq.2 . 2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
3 itg2i1fseq.3 . 2  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
4 itg2i1fseq.4 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5 itg2i1fseq.5 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
6 itg2i1fseq.6 . 2  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
7 itg2i1fseq3.7 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
8 rexr 8922 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
98anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
10 elrege0 10793 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
11 elxrge0 10794 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
129, 10, 113imtr4i 257 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1312ssriv 3218 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
14 fss 5435 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
152, 13, 14sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
1615adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
17 ffvelrn 5701 . . . 4  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  e.  dom  S.1 )
183, 17sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
191, 2, 3, 4, 5itg2i1fseqle 19162 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  o R  <_  F )
20 itg2ub 19141 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( P `  k )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  k )  o R  <_  F )  ->  ( S.1 `  ( P `  k )
)  <_  ( S.2 `  F ) )
2116, 18, 19, 20syl3anc 1182 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 21itg2i1fseq2 19164 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   dom cdm 4726   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    o Rcofr 6119   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    +oocpnf 8909   RR*cxr 8911    <_ cle 8913   NNcn 9791   [,)cico 10705   [,]cicc 10706    ~~> cli 12005  MblFncmbf 19022   S.1citg1 19023   S.2citg2 19024   0 pc0p 19077
This theorem is referenced by:  itg2addlem  19166
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cc 8106  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-disj 4031  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-ofr 6121  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-rest 13376  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-cmp 17170  df-ovol 18877  df-vol 18878  df-mbf 19028  df-itg1 19029  df-itg2 19030  df-0p 19078
  Copyright terms: Public domain W3C validator