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Theorem itg2i1fseqle 19648
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 19615, the sequence of simple functions are all less than the target function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseqle  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  o R  <_  F )
Distinct variable groups:    x, n, F    n, M    P, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    M( x)

Proof of Theorem itg2i1fseqle
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( P `  n )  =  ( P `  M ) )
21fveq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 M ) `  y ) )
3 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
4 fvex 5744 . . . . . 6  |-  ( ( P `  M ) `
 y )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5808 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  =  ( ( P `  M ) `
 y ) )
65ad2antlr 709 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  =  ( ( P `  M ) `
 y ) )
7 nnuz 10523 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8 simplr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  M  e.  NN )
9 itg2i1fseq.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
10 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
1110mpteq2dv 4298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
12 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
1311, 12breq12d 4227 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
1413rspccva 3053 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
159, 14sylan 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
1615adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )
17 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
1817fveq1d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 k ) `  y ) )
19 fvex 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P `  k ) `
 y )  e. 
_V
2018, 3, 19fvmpt 5808 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 y ) )
2120adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 y ) )
22 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
2322ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
24 i1ff 19570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  k ) : RR --> RR )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k ) : RR --> RR )
2625ffvelrnda 5872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  e.  RR )
2726an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P `  k
) `  y )  e.  RR )
2821, 27eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  e.  RR )
2928adantllr 701 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 k )  e.  RR )
30 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
31 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
3231ralimi 2783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
34 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
3534fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3617, 35breq12d 4227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  o R  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3736rspccva 3053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3833, 37sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
39 ffn 5593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  k ) : RR --> RR  ->  ( P `  k )  Fn  RR )
4023, 24, 393syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  Fn  RR )
41 peano2nn 10014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
42 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
4322, 41, 42syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
44 i1ff 19570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) ) : RR --> RR )
45 ffn 5593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  Fn  RR )
4643, 44, 453syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  Fn  RR )
47 reex 9083 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
49 inidm 3552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
50 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  =  ( ( P `
 k ) `  y ) )
51 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
k  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( k  +  1 ) ) `  y ) )
5240, 46, 48, 48, 49, 50, 51ofrfval 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  k ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) ) )
5338, 52mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 k ) `  y )  <_  (
( P `  (
k  +  1 ) ) `  y ) )
5453r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `  y
) )
5554an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P `  k
) `  y )  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `  y
) )
56 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
5756fveq1d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( k  +  1 ) ) `  y ) )
58 fvex 5744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
5957, 3, 58fvmpt 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6041, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6160adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6255, 21, 613brtr4d 4244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( k  +  1 ) ) )
6362adantllr 701 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 k )  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
647, 8, 16, 29, 63climub 12457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  <_  ( F `  y ) )
656, 64eqbrtrrd 4236 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  M
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
6665ralrimiva 2791 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 M ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
6722ffvelrnda 5872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  e. 
dom  S.1 )
68 i1ff 19570 . . . 4  |-  ( ( P `  M )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  M ) : RR --> RR )
69 ffn 5593 . . . 4  |-  ( ( P `  M ) : RR --> RR  ->  ( P `  M )  Fn  RR )
7067, 68, 693syl 19 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  Fn  RR )
71 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
72 rexr 9132 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
7372anim1i 553 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
74 elrege0 11009 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
75 elxrge0 11010 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
7673, 74, 753imtr4i 259 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7776ssriv 3354 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
78 fss 5601 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
7971, 77, 78sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
80 ffn 5593 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  RR )
8179, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
8281adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
8347a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
84 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  M
) `  y )  =  ( ( P `
 M ) `  y ) )
85 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
8670, 82, 83, 83, 49, 84, 85ofrfval 6315 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( P `  M )  o R  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  M
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
8766, 86mpbird 225 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  o R  <_  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Rcofr 6306   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    <_ cle 9123   NNcn 10002   [,)cico 10920   [,]cicc 10921    ~~> cli 12280  MblFncmbf 19508   S.1citg1 19509   0 pc0p 19563
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  19649  itg2i1fseq3  19651  itg2addlem  19652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-itg1 19515
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