MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Unicode version

Theorem itg2lea 19597
Description: Approximate version of itg2le 19592. If  F  <_  G for almost all  x, then  S.2 F  <_  S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itg2lea.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2lea  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
3 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
4 itg2lea.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A  C_  RR )
6 itg2lea.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( vol * `
 A )  =  0 )
8 i1ff 19529 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
98ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f : RR
--> RR )
10 eldifi 3437 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
11 ffvelrn 5835 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
129, 10, 11syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR )
1312rexrd 9098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR* )
14 iccssxr 10957 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
17 ffvelrn 5835 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1816, 10, 17syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1914, 18sseldi 3314 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR* )
20 ffvelrn 5835 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
212, 10, 20syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2214, 21sseldi 3314 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  RR* )
23 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  o R  <_  F )
24 ffn 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
259, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  Fn  RR )
26 ffn 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  RR )
2716, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  F  Fn  RR )
28 reex 9045 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  RR  e.  _V )
30 inidm 3518 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
31 eqidd 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  =  ( f `
 x ) )
32 eqidd 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3325, 27, 29, 29, 30, 31, 32ofrfval 6280 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( f  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3423, 33mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
)
3534r19.21bi 2772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
3610, 35sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
37 itg2lea.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
3837adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  <_  ( G `  x ) )
3913, 19, 22, 36, 38xrletrd 10716 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( G `  x ) )
402, 3, 5, 7, 39itg2uba 19596 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G ) )
4140expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
4241ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) )
43 itg2cl 19585 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )
441, 43syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
45 itg2leub 19587 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) ) )
4615, 44, 45syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G
) ) ) )
4742, 46mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   dom cdm 4845    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Rcofr 6271   RRcr 8953   0cc0 8954    +oocpnf 9081   RR*cxr 9083    <_ cle 9085   [,]cicc 10883   vol *covol 19320   S.1citg1 19468   S.2citg2 19469
This theorem is referenced by:  itg2eqa  19598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-disj 4151  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-rest 13613  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-cmp 17412  df-ovol 19322  df-vol 19323  df-mbf 19473  df-itg1 19474  df-itg2 19475
  Copyright terms: Public domain W3C validator