MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Unicode version

Theorem itg2lea 19314
Description: Approximate version of itg2le 19309. If  F  <_  G for almost all  x, then  S.2 F  <_  S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itg2lea.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2lea  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
3 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
4 itg2lea.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A  C_  RR )
6 itg2lea.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( vol * `
 A )  =  0 )
8 i1ff 19246 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
98ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f : RR
--> RR )
10 eldifi 3385 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
11 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
129, 10, 11syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR )
1312rexrd 9028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR* )
14 iccssxr 10885 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
17 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1816, 10, 17syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1914, 18sseldi 3264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR* )
20 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
212, 10, 20syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2214, 21sseldi 3264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  RR* )
23 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  o R  <_  F )
24 ffn 5495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
259, 24syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  Fn  RR )
26 ffn 5495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  RR )
2716, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  F  Fn  RR )
28 reex 8975 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
2928a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  RR  e.  _V )
30 inidm 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
31 eqidd 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  =  ( f `
 x ) )
32 eqidd 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3325, 27, 29, 29, 30, 31, 32ofrfval 6213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( f  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3423, 33mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
)
3534r19.21bi 2726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
3610, 35sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
37 itg2lea.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
3837adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  <_  ( G `  x ) )
3913, 19, 22, 36, 38xrletrd 10645 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( G `  x ) )
402, 3, 5, 7, 39itg2uba 19313 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G ) )
4140expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
4241ralrimiva 2711 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) )
43 itg2cl 19302 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )
441, 43syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
45 itg2leub 19304 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) ) )
4615, 44, 45syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G
) ) ) )
4742, 46mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   dom cdm 4792    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Rcofr 6204   RRcr 8883   0cc0 8884    +oocpnf 9011   RR*cxr 9013    <_ cle 9015   [,]cicc 10812   vol *covol 19037   S.1citg1 19185   S.2citg2 19186
This theorem is referenced by:  itg2eqa  19315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-disj 4096  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-rest 13537  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cmp 17331  df-ovol 19039  df-vol 19040  df-mbf 19190  df-itg1 19191  df-itg2 19192
  Copyright terms: Public domain W3C validator