MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Unicode version

Theorem itg2lea 19639
Description: Approximate version of itg2le 19634. If  F  <_  G for almost all  x, then  S.2 F  <_  S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itg2lea.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2lea  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
21adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
3 simprl 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
4 itg2lea.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
54adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A  C_  RR )
6 itg2lea.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
76adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( vol * `
 A )  =  0 )
8 i1ff 19571 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
98ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f : RR
--> RR )
10 eldifi 3471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
11 ffvelrn 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
129, 10, 11syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR )
1312rexrd 9139 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR* )
14 iccssxr 10998 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
1615adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
17 ffvelrn 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1816, 10, 17syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1914, 18sseldi 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR* )
20 ffvelrn 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
212, 10, 20syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2214, 21sseldi 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  RR* )
23 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  o R  <_  F )
24 ffn 5594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
259, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  Fn  RR )
26 ffn 5594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  RR )
2716, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  F  Fn  RR )
28 reex 9086 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  RR  e.  _V )
30 inidm 3552 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
31 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  =  ( f `
 x ) )
32 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3325, 27, 29, 29, 30, 31, 32ofrfval 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( f  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3423, 33mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
)
3534r19.21bi 2806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
3610, 35sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
37 itg2lea.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
3837adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  <_  ( G `  x ) )
3913, 19, 22, 36, 38xrletrd 10757 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( G `  x ) )
402, 3, 5, 7, 39itg2uba 19638 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G ) )
4140expr 600 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
4241ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) )
43 itg2cl 19627 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )
441, 43syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
45 itg2leub 19629 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) ) )
4615, 44, 45syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G
) ) ) )
4742, 46mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   dom cdm 4881    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Rcofr 6307   RRcr 8994   0cc0 8995    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    <_ cle 9126   [,]cicc 10924   vol *covol 19364   S.1citg1 19512   S.2citg2 19513
This theorem is referenced by:  itg2eqa  19640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cmp 17455  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517  df-itg2 19518
  Copyright terms: Public domain W3C validator