MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Unicode version

Theorem itg2lea 19099
Description: Approximate version of itg2le 19094. If  F  <_  G for almost all  x, then  S.2 F  <_  S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itg2lea.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2lea  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
3 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
4 itg2lea.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A  C_  RR )
6 itg2lea.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( vol * `
 A )  =  0 )
8 i1ff 19031 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
98ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f : RR
--> RR )
10 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
129, 10, 11syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR )
1312rexrd 8881 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  e.  RR* )
14 iccssxr 10732 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
17 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1816, 10, 17syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1914, 18sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR* )
20 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
212, 10, 20syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2214, 21sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( G `  x
)  e.  RR* )
23 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  o R  <_  F )
24 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
259, 24syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  f  Fn  RR )
26 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  RR )
2716, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  F  Fn  RR )
28 reex 8828 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
2928a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  RR  e.  _V )
30 inidm 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
31 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  =  ( f `
 x ) )
32 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  =  ( F `
 x ) )
3325, 27, 29, 29, 30, 31, 32ofrfval 6086 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( f  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3423, 33mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  ( F `  x )
)
3534r19.21bi 2641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
3610, 35sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( F `  x ) )
37 itg2lea.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
3837adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( F `  x
)  <_  ( G `  x ) )
3913, 19, 22, 36, 38xrletrd 10493 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  -> 
( f `  x
)  <_  ( G `  x ) )
402, 3, 5, 7, 39itg2uba 19098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G ) )
4140expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
4241ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) )
43 itg2cl 19087 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )
441, 43syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
45 itg2leub 19089 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( S.2 `  G ) ) ) )
4615, 44, 45syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.2 `  G
) ) ) )
4742, 46mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Rcofr 6077   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,]cicc 10659   vol *covol 18822   S.1citg1 18970   S.2citg2 18971
This theorem is referenced by:  itg2eqa  19100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977
  Copyright terms: Public domain W3C validator