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Theorem itg2leub 19583
Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 
G dominated by  F is greater than  ( S.2 `  F
), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . . . 5  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  =  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }
21itg2val 19577 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
43breq1d 4186 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A
) )
51itg2lcl 19576 . . . . 5  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  C_  RR*
6 supxrleub 10865 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }  C_  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
75, 6mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
87adantl 453 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
9 eqeq1 2414 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( S.1 `  g )  <->  z  =  ( S.1 `  g ) ) )
109anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) )  <->  ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) ) ) )
1110rexbidv 2691 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) )  <->  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) ) ) )
1211ralab 3059 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. g  e. 
dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )
)
13 r19.23v 2786 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 (
( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  ->  z  <_  A ) )
14 ancomsimp 1375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( (
z  =  ( S.1 `  g )  /\  g  o R  <_  F )  ->  z  <_  A
) )
15 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  =  ( S.1 `  g )  /\  g  o R  <_  F )  -> 
z  <_  A )  <->  ( z  =  ( S.1 `  g )  ->  (
g  o R  <_  F  ->  z  <_  A
) ) )
1614, 15bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1716ralbii 2694 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 (
( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1813, 17bitr3i 243 . . . . . 6  |-  ( ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1918albii 1572 . . . . 5  |-  ( A. z ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )  <->  A. z A. g  e. 
dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
20 ralcom4 2938 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  A. z A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
21 fvex 5705 . . . . . . . 8  |-  ( S.1 `  g )  e.  _V
22 breq1 4179 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( S.1 `  g
)  <_  A )
)
2322imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( (
g  o R  <_  F  ->  z  <_  A
)  <->  ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
2421, 23ceqsalv 2946 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2524ralbii 2694 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2620, 25bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( A. z A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g )  ->  ( g  o R  <_  F  ->  z  <_  A ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2719, 26bitri 241 . . . 4  |-  ( A. z ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2812, 27bitri 241 . . 3  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } z  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
298, 28syl6bb 253 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
304, 29bitrd 245 1  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   dom cdm 4841   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    o Rcofr 6267   supcsup 7407   RRcr 8949   0cc0 8950    +oocpnf 9077   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081   [,]cicc 10879   S.1citg1 19464   S.2citg2 19465
This theorem is referenced by:  itg2itg1  19585  itg2le  19588  itg2seq  19591  itg2lea  19593  itg2mulclem  19595  itg2splitlem  19597  itg2split  19598  itg2mono  19602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xadd 10671  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-xmet 16654  df-met 16655  df-ovol 19318  df-vol 19319  df-mbf 19469  df-itg1 19470  df-itg2 19471
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