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Theorem itg2leub 19629
Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 
G dominated by  F is greater than  ( S.2 `  F
), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  =  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }
21itg2val 19623 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32adantr 453 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
43breq1d 4225 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A
) )
51itg2lcl 19622 . . . . 5  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  C_  RR*
6 supxrleub 10910 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }  C_  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
75, 6mpan 653 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
87adantl 454 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
9 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( S.1 `  g )  <->  z  =  ( S.1 `  g ) ) )
109anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) )  <->  ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) ) ) )
1110rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) )  <->  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) ) ) )
1211ralab 3097 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. g  e. 
dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )
)
13 r19.23v 2824 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 (
( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  ->  z  <_  A ) )
14 ancomsimp 1379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( (
z  =  ( S.1 `  g )  /\  g  o R  <_  F )  ->  z  <_  A
) )
15 impexp 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  =  ( S.1 `  g )  /\  g  o R  <_  F )  -> 
z  <_  A )  <->  ( z  =  ( S.1 `  g )  ->  (
g  o R  <_  F  ->  z  <_  A
) ) )
1614, 15bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1716ralbii 2731 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 (
( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1813, 17bitr3i 244 . . . . . 6  |-  ( ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1918albii 1576 . . . . 5  |-  ( A. z ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )  <->  A. z A. g  e. 
dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
20 ralcom4 2976 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  A. z A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
21 fvex 5745 . . . . . . . 8  |-  ( S.1 `  g )  e.  _V
22 breq1 4218 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( S.1 `  g
)  <_  A )
)
2322imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( (
g  o R  <_  F  ->  z  <_  A
)  <->  ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
2421, 23ceqsalv 2984 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2524ralbii 2731 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2620, 25bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( A. z A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g )  ->  ( g  o R  <_  F  ->  z  <_  A ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2719, 26bitri 242 . . . 4  |-  ( A. z ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2812, 27bitri 242 . . 3  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } z  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
298, 28syl6bb 254 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
304, 29bitrd 246 1  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Rcofr 6307   supcsup 7448   RRcr 8994   0cc0 8995    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   [,]cicc 10924   S.1citg1 19512   S.2citg2 19513
This theorem is referenced by:  itg2itg1  19631  itg2le  19634  itg2seq  19637  itg2lea  19639  itg2mulclem  19641  itg2splitlem  19643  itg2split  19644  itg2mono  19648  ftc1anclem5  26298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517  df-itg2 19518
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