MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2leub Unicode version

Theorem itg2leub 19304
Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 
G dominated by  F is greater than  ( S.2 `  F
), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . . . 5  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  =  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }
21itg2val 19298 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
43breq1d 4135 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A
) )
51itg2lcl 19297 . . . . 5  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  C_  RR*
6 supxrleub 10798 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }  C_  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
75, 6mpan 651 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
87adantl 452 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } z  <_  A )
)
9 eqeq1 2372 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( S.1 `  g )  <->  z  =  ( S.1 `  g ) ) )
109anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) )  <->  ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) ) ) )
1110rexbidv 2649 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) )  <->  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) ) ) )
1211ralab 3012 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. g  e. 
dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )
)
13 r19.23v 2744 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 (
( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  ->  z  <_  A ) )
14 ancomsimp 1374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( (
z  =  ( S.1 `  g )  /\  g  o R  <_  F )  ->  z  <_  A
) )
15 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  =  ( S.1 `  g )  /\  g  o R  <_  F )  -> 
z  <_  A )  <->  ( z  =  ( S.1 `  g )  ->  (
g  o R  <_  F  ->  z  <_  A
) ) )
1614, 15bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1716ralbii 2652 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 (
( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1813, 17bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g
) )  ->  z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
1918albii 1571 . . . . 5  |-  ( A. z ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )  <->  A. z A. g  e. 
dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
20 ralcom4 2891 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  A. z A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
) )
21 fvex 5646 . . . . . . . 8  |-  ( S.1 `  g )  e.  _V
22 breq1 4128 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( S.1 `  g
)  <_  A )
)
2322imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( (
g  o R  <_  F  ->  z  <_  A
)  <->  ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
2421, 23ceqsalv 2899 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2524ralbii 2652 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  dom  S.1 A. z ( z  =  ( S.1 `  g
)  ->  ( g  o R  <_  F  -> 
z  <_  A )
)  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2620, 25bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( A. z A. g  e.  dom  S.1 ( z  =  ( S.1 `  g )  ->  ( g  o R  <_  F  ->  z  <_  A ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2719, 26bitri 240 . . . 4  |-  ( A. z ( E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  z  =  ( S.1 `  g ) )  -> 
z  <_  A )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
2812, 27bitri 240 . . 3  |-  ( A. z  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } z  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) )
298, 28syl6bb 252 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
304, 29bitrd 244 1  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  A  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1545    = wceq 1647    e. wcel 1715   {cab 2352   A.wral 2628   E.wrex 2629    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   dom cdm 4792   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Rcofr 6204   supcsup 7340   RRcr 8883   0cc0 8884    +oocpnf 9011   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015   [,]cicc 10812   S.1citg1 19185   S.2citg2 19186
This theorem is referenced by:  itg2itg1  19306  itg2le  19309  itg2seq  19312  itg2lea  19314  itg2mulclem  19316  itg2splitlem  19318  itg2split  19319  itg2mono  19323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xadd 10604  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-xmet 16586  df-met 16587  df-ovol 19039  df-vol 19040  df-mbf 19190  df-itg1 19191  df-itg2 19192
  Copyright terms: Public domain W3C validator