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Theorem itg2mono 19637
Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If  { ( F `
 n ) : n  e.  NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and  G is the pointwise limit of the sequence, then  ( S.2 `  G
) is the limit of the sequence  { ( S.2 `  ( F `  n
) ) : n  e.  NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  o R  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
itg2mono  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono
Dummy variables  f  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
32adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
4 itg2mono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
54adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
6 itg2mono.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  o R  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
76adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  o R  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
8 itg2mono.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
98adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
10 itg2mono.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
11 simprll 739 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
12 simprlr 740 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  o R  <_  G )
13 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  -.  ( S.1 `  f )  <_  S
)
141, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13itg2monolem3 19636 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
1514expr 599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  G ) )  ->  ( -.  ( S.1 `  f )  <_  S  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
1615pm2.18d 105 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  G ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  S
)
1716expr 599 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  G  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)
1817ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
19 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
20 pnfxr 10705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +oo  e.  RR*
21 icossre 10983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2219, 20, 21mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
23 fss 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  ( F `
 n ) : RR --> RR )
244, 22, 23sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> RR )
2524ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
2625an32s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
27 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )
2826, 27fmptd 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) : NN --> RR )
29 frn 5589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  C_  RR )
31 1nn 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
32 fdm 5587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  NN )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =  NN )
3431, 33syl5eleqr 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e. 
dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
35 ne0i 3626 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
37 dm0rn0 5078 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/) )
3837necon3bii 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/) )
3936, 38sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
40 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
4128, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  Fn  NN )
42 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y )
)
4342ralrn 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y
) )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  <_ 
y ) )
45 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
4645fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  x ) )
47 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  m ) `
 x )  e. 
_V
4846, 27, 47fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
4948breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y  <->  ( ( F `  m
) `  x )  <_  y ) )
5049ralbiia 2729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  y
)
5146breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( F `  n ) `  x
)  <_  y  <->  ( ( F `  m ) `  x )  <_  y
) )
5251cbvralv 2924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
( F `  n
) `  x )  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `  m ) `  x
)  <_  y )
5350, 52bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
5444, 53syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
5554rexbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
568, 55mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )
57 suprcl 9960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5830, 39, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5958rexrd 9126 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
6019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
614ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
62 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
6362feq1d 5572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
6463rspcv 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
6531, 61, 64mpsyl 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
6665ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
67 elrege0 10999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( F `
 1 ) `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  1 ) `  x ) ) )
6866, 67sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) ) )
6968simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  RR )
7068simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) )
7162fveq1d 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 1 ) `  x ) )
72 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
_V
7371, 27, 72fvmpt 5798 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  1
)  =  ( ( F `  1 ) `
 x ) )
7431, 73ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  =  ( ( F `
 1 ) `  x )
75 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 1 )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7641, 31, 75sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7774, 76syl5eqelr 2520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
78 suprub 9961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F ` 
1 ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  1
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
7930, 39, 56, 77, 78syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
8060, 69, 58, 70, 79letrd 9219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
81 elxrge0 11000 . . . . . 6  |-  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
8259, 80, 81sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8382, 1fmptd 5885 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
84 rexr 9122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
8584anim1i 552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
86 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
87 elxrge0 11000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
8885, 86, 873imtr4i 258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8988ssriv 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
90 fss 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
914, 89, 90sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
92 itg2cl 19616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  e. 
RR* )
9391, 92syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
94 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
9593, 94fmptd 5885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
96 frn 5589 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
9795, 96syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
98 supxrcl 10885 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9997, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
10010, 99syl5eqel 2519 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
101 itg2leub 19618 . . . 4  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  G )  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
10283, 100, 101syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
10318, 102mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  <_  S )
10445feq1d 5572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
105104cbvralv 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo )  <->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
10661, 105sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
107106r19.21bi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
108 fss 5591 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
109107, 89, 108sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
11083adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
11130, 39, 563jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
112111adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
11348ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
11441adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
115 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  m  e.  NN )
116 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
117114, 115, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )
118113, 117eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
119 suprub 9961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F `  m ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
120112, 118, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
121 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
122 ltso 9148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
123122supex 7460 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
1241fvmpt2 5804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )
125121, 123, 124sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
126120, 125breqtrrd 4230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
) )
127126ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  ( G `  x )
)
128 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  m
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
129 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
130128, 129breq12d 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  m ) `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  m ) `  z )  <_  ( G `  z )
) )
131130cbvralv 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
)  <->  A. z  e.  RR  ( ( F `  m ) `  z
)  <_  ( G `  z ) )
132127, 131sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. z  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  z )  <_  ( G `  z )
)
133 ffn 5583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( F `  m )  Fn  RR )
134109, 133syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  Fn  RR )
13558, 1fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
136 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
138137adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G  Fn  RR )
139 reex 9073 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
140139a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
141 inidm 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
142 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
143 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
144134, 138, 140, 140, 141, 142, 143ofrfval 6305 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F `  m )  o R  <_  G  <->  A. z  e.  RR  (
( F `  m
) `  z )  <_  ( G `  z
) ) )
145132, 144mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  o R  <_  G )
146 itg2le 19623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  G : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  ( F `  m )  o R  <_  G )  ->  ( S.2 `  ( F `  m )
)  <_  ( S.2 `  G ) )
147109, 110, 145, 146syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
148147ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
149 ffn 5583 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
15095, 149syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
151 breq1 4207 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
152151ralrn 5865 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
153150, 152syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
15445fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
155 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( S.2 `  ( F `  m
) )  e.  _V
156154, 94, 155fvmpt 5798 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
157156breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
158157ralbiia 2729 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
159153, 158syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
160148, 159mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) )
161 itg2cl 19616 . . . . . 6  |-  ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )
16283, 161syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
163 supxrleub 10897 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
16497, 162, 163syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
165160, 164mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
) )
16610, 165syl5eqbr 4237 . 2  |-  ( ph  ->  S  <_  ( S.2 `  G ) )
167 xrletri3 10737 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  G
)  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  G )  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
168162, 100, 167syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
169103, 166, 168mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Rcofr 6296   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   [,)cico 10910   [,]cicc 10911  MblFncmbf 19498   S.1citg1 19499   S.2citg2 19500
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  19639  itg2cnlem1  19645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506
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