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Theorem itg2monolem3 19634
Description: Lemma for itg2mono 19635. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  o R  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
itg2monolem2.7  |-  ( ph  ->  P  e.  dom  S.1 )
itg2monolem2.8  |-  ( ph  ->  P  o R  <_  G )
itg2monolem2.9  |-  ( ph  ->  -.  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Assertion
Ref Expression
itg2monolem3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    P, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2monolem3
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
3 itg2mono.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
4 itg2mono.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  o R  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5 itg2mono.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
6 itg2mono.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
7 itg2monolem2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  dom  S.1 )
8 itg2monolem2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  o R  <_  G )
9 itg2monolem2.9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( S.1 `  P
)  <_  S )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9itg2monolem2 19633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  e.  RR )
1211recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
137adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  P  e.  dom  S.1 )
14 itg1cl 19567 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  P )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  e.  RR )
1615recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  e.  CC )
17 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
1817rpred 10638 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR )
1911, 18readdcld 9105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  e.  RR )
2019recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  e.  CC )
21 0re 9081 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
23 0xr 9121 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
25 1nn 10001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
26 rexr 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2726anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
28 elrege0 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
29 elxrge0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
3027, 28, 293imtr4i 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3130ssriv 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
32 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
333, 31, 32sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
3433ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
35 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
3635feq1d 5572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) ) )
3736rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) ) )
3825, 34, 37mpsyl 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
39 itg2cl 19614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  ( F ` 
1 ) )  e. 
RR* )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  e.  RR* )
41 itg2cl 19614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  e. 
RR* )
4233, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
43 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
4442, 43fmptd 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
45 frn 5589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
47 supxrcl 10883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
496, 48syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
50 itg2ge0 19617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
5138, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( S.2 `  ( F `  1
) ) )
5235fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
53 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S.2 `  ( F `  1
) )  e.  _V
5452, 43, 53fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  1 )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
5525, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  1 )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
)
56 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
5744, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
58 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  1
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
5957, 25, 58sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  1
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
6055, 59syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
61 supxrub 10893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  ( F ` 
1 ) )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( F `
 1 ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6246, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6362, 6syl6breqr 4244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  <_  S )
6424, 40, 49, 51, 63xrletrd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
6564adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <_  S )
6611, 17ltaddrpd 10667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  t ) )
6722, 11, 19, 65, 66lelttrd 9218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( S  +  t ) )
6867gt0ne0d 9581 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  =/=  0 )
6912, 16, 20, 68div23d 9817 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  / 
( S  +  t ) )  =  ( ( S  /  ( S  +  t )
)  x.  ( S.1 `  P ) ) )
7011, 19, 68redivcld 9832 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  e.  RR )
7170, 15remulcld 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
72 1re 9080 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
7372rehalfcli 10206 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
74 ifcl 3767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
7570, 73, 74sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
7675, 15remulcld 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
77 max2 10765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR )  ->  ( S  / 
( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
7873, 70, 77sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
797, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  e.  RR )
8079rexrd 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  e.  RR* )
81 xrltnle 9134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  ( S.1 `  P )  e. 
RR* )  ->  ( S  <  ( S.1 `  P
)  <->  -.  ( S.1 `  P )  <_  S
) )
8249, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( S.1 `  P )  <->  -.  ( S.1 `  P )  <_  S ) )
839, 82mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( S.1 `  P ) )
8483adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S.1 `  P ) )
8522, 11, 15, 65, 84lelttrd 9218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( S.1 `  P ) )
86 lemul1 9852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
( S.1 `  P )  e.  RR  /\  0  <  ( S.1 `  P
) ) )  -> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) ) )
8770, 75, 15, 85, 86syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) ) )
8878, 87mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) )
892adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e. MblFn )
903adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
914adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  o R  <_  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )
925adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
9373a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
94 halfgt0 10178 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( 1  /  2 ) )
96 max1 10763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9773, 70, 96sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9822, 93, 75, 95, 97ltletrd 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9920mulid1d 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  t )  x.  1 )  =  ( S  +  t ) )
10066, 99breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) )
10172a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
102 ltdivmul 9872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( S  +  t )  e.  RR  /\  0  <  ( S  +  t ) ) )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1  <->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) ) )
10311, 101, 19, 67, 102syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1  <->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) ) )
104100, 103mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1 )
105 halflt1 10179 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  <  1
106 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  =  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  <  1  <->  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
107 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
108106, 107ifboth 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  <  1  /\  ( 1  /  2
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  <  1 )
109104, 105, 108sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 )
11072rexri 9127 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
111 elioo2 10947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) ) )
11223, 110, 111mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
11375, 98, 109, 112syl3anbrc 1138 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1148adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  P  o R  <_  G )
115 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( P `  y )  =  ( P `  x ) )
116115oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  y ) )  =  ( if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( P `  x
) ) )
117 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  n
) `  y )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
118116, 117breq12d 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( P `  y
) )  <_  (
( F `  n
) `  y )  <->  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  x )
)  <_  ( ( F `  n ) `  x ) ) )
119118cbvrabv 2947 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  y )
)  <_  ( ( F `  n ) `  y ) }  =  { x  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  x ) )  <_ 
( ( F `  n ) `  x
) }
120119mpteq2i 4284 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  { y  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  y )
)  <_  ( ( F `  n ) `  y ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  { x  e.  RR  |  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  x ) )  <_ 
( ( F `  n ) `  x
) } )
1211, 89, 90, 91, 92, 6, 113, 13, 114, 11, 120itg2monolem1 19632 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  S
)
12271, 76, 11, 88, 121letrd 9217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  S
)
12369, 122eqbrtrd 4224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  / 
( S  +  t ) )  <_  S
)
12411, 15remulcld 9106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
125 ledivmul2 9877 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  ( ( S  +  t )  e.  RR  /\  0  <  ( S  +  t ) ) )  -> 
( ( ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  /  ( S  +  t )
)  <_  S  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
126124, 11, 19, 67, 125syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( S  x.  ( S.1 `  P ) )  /  ( S  +  t ) )  <_  S 
<->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t
) ) ) )
127123, 126mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) )
12875, 15, 98, 85mulgt0d 9215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( S.1 `  P ) ) )
12922, 76, 11, 128, 121ltletrd 9220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  S )
130 lemul2 9853 . . . . 5  |-  ( ( ( S.1 `  P
)  e.  RR  /\  ( S  +  t
)  e.  RR  /\  ( S  e.  RR  /\  0  <  S ) )  ->  ( ( S.1 `  P )  <_ 
( S  +  t )  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
13115, 19, 11, 129, 130syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S.1 `  P )  <_ 
( S  +  t )  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
132127, 131mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  <_  ( S  +  t )
)
133132ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P )  <_  ( S  +  t ) )
134 alrple 10782 . . 3  |-  ( ( ( S.1 `  P
)  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( ( S.1 `  P
)  <_  S  <->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P
)  <_  ( S  +  t ) ) )
13579, 10, 134syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.1 `  P
)  <_  S  <->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P
)  <_  ( S  +  t ) ) )
136133, 135mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Rcofr 6296   supcsup 7437   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    +oocpnf 9107   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   RR+crp 10602   (,)cioo 10906   [,)cico 10908   [,]cicc 10909  MblFncmbf 19496   S.1citg1 19497   S.2citg2 19498
This theorem is referenced by:  itg2mono  19635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cc 8305  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-acn 7819  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cmp 17440  df-ovol 19351  df-vol 19352  df-mbf 19502  df-itg1 19503  df-itg2 19504
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