Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulc Unicode version

Theorem itg2mulc 19206
 Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2
itg2mulc.3
itg2mulc.4
Assertion
Ref Expression
itg2mulc

Proof of Theorem itg2mulc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . 5
21adantr 451 . . . 4
3 itg2mulc.3 . . . . 5
43adantr 451 . . . 4
5 itg2mulc.4 . . . . . . . 8
6 elrege0 10838 . . . . . . . 8
75, 6sylib 188 . . . . . . 7
87simpld 445 . . . . . 6
98anim1i 551 . . . . 5
10 elrp 10448 . . . . 5
119, 10sylibr 203 . . . 4
122, 4, 11itg2mulclem 19205 . . 3
13 ge0mulcl 10841 . . . . . . . . 9
1413adantl 452 . . . . . . . 8
15 fconst6g 5513 . . . . . . . . 9
165, 15syl 15 . . . . . . . 8
17 reex 8918 . . . . . . . . 9
1817a1i 10 . . . . . . . 8
19 inidm 3454 . . . . . . . 8
2014, 16, 1, 18, 18, 19off 6180 . . . . . . 7
2120adantr 451 . . . . . 6
22 df-ico 10754 . . . . . . . . . 10
23 df-icc 10755 . . . . . . . . . 10
24 idd 21 . . . . . . . . . 10
25 xrltle 10575 . . . . . . . . . 10
2622, 23, 24, 25ixxssixx 10762 . . . . . . . . 9
27 fss 5480 . . . . . . . . 9
2820, 26, 27sylancl 643 . . . . . . . 8
2928adantr 451 . . . . . . 7
308, 3remulcld 8953 . . . . . . . 8
3130adantr 451 . . . . . . 7
32 itg2lecl 19197 . . . . . . 7
3329, 31, 12, 32syl3anc 1182 . . . . . 6
3411rpreccld 10492 . . . . . 6
3521, 33, 34itg2mulclem 19205 . . . . 5
362feqmptd 5658 . . . . . . . 8
37 0re 8928 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 pnfxr 10547 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 icossre 10822 . . . . . . . . . . . . . . 15
4037, 38, 39mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14
41 ax-resscn 8884 . . . . . . . . . . . . . 14
4240, 41sstri 3264 . . . . . . . . . . . . 13
43 fss 5480 . . . . . . . . . . . . 13
441, 42, 43sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
4544adantr 451 . . . . . . . . . . 11
46 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . . 11
4745, 46sylan 457 . . . . . . . . . 10
4847mulid2d 8943 . . . . . . . . 9
4948mpteq2dva 4187 . . . . . . . 8
5036, 49eqtr4d 2393 . . . . . . 7
5117a1i 10 . . . . . . . 8
52 1re 8927 . . . . . . . . 9
5352a1i 10 . . . . . . . 8
5451, 34, 11ofc12 6189 . . . . . . . . . 10
55 fconstmpt 4814 . . . . . . . . . 10
5654, 55syl6eq 2406 . . . . . . . . 9
578recnd 8951 . . . . . . . . . . . 12
5857adantr 451 . . . . . . . . . . 11
5911rpne0d 10487 . . . . . . . . . . 11
6058, 59recid2d 9622 . . . . . . . . . 10
6160mpteq2dv 4188 . . . . . . . . 9
6256, 61eqtrd 2390 . . . . . . . 8
6351, 53, 47, 62, 36offval2 6182 . . . . . . 7
6434rpcnd 10484 . . . . . . . . 9
65 fconst6g 5513 . . . . . . . . 9
6664, 65syl 15 . . . . . . . 8
67 fconst6g 5513 . . . . . . . . 9
6858, 67syl 15 . . . . . . . 8
69 mulass 8915 . . . . . . . . 9
7069adantl 452 . . . . . . . 8
7151, 66, 68, 45, 70caofass 6198 . . . . . . 7
7250, 63, 713eqtr2d 2396 . . . . . 6
7372fveq2d 5612 . . . . 5
7433recnd 8951 . . . . . 6
7574, 58, 59divrec2d 9630 . . . . 5
7635, 73, 753brtr4d 4134 . . . 4
774, 33, 11lemuldiv2d 10528 . . . 4
7876, 77mpbird 223 . . 3
79 itg2cl 19191 . . . . . 6
8028, 79syl 15 . . . . 5
8130rexrd 8971 . . . . 5
82 xrletri3 10578 . . . . 5
8380, 81, 82syl2anc 642 . . . 4
8512, 78, 84mpbir2and 888 . 2
8617a1i 10 . . . . . 6
8744adantr 451 . . . . . 6
888adantr 451 . . . . . 6
8937a1i 10 . . . . . 6
90 simplr 731 . . . . . . . 8
9190oveq1d 5960 . . . . . . 7
92 mul02 9080 . . . . . . . 8
9392adantl 452 . . . . . . 7
9491, 93eqtr3d 2392 . . . . . 6
9586, 87, 88, 89, 94caofid2 6195 . . . . 5
9695fveq2d 5612 . . . 4
97 itg20 19196 . . . 4
9896, 97syl6eq 2406 . . 3
993adantr 451 . . . . 5
10099recnd 8951 . . . 4
101100mul02d 9100 . . 3
102 simpr 447 . . . 4
103102oveq1d 5960 . . 3
10498, 101, 1033eqtr2d 2396 . 2
1057simprd 449 . . 3
106 leloe 8998 . . . 4
10737, 8, 106sylancr 644 . . 3
108105, 107mpbid 201 . 2
10985, 104, 108mpjaodan 761 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2864   wss 3228  csn 3716   class class class wbr 4104   cmpt 4158   cxp 4769  wf 5333  cfv 5337  (class class class)co 5945   cof 6163  cc 8825  cr 8826  cc0 8827  c1 8828   cmul 8832   cpnf 8954  cxr 8956   clt 8957   cle 8958   cdiv 9513  crp 10446  cico 10750  cicc 10751  citg2 19075 This theorem is referenced by:  iblmulc2  19289  itgmulc2lem1  19290  bddmulibl  19297  iblmulc2nc  25505  itgmulc2nclem1  25506 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-disj 4075  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-ofr 6166  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xadd 10545  df-ioo 10752  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-sum 12256  df-xmet 16475  df-met 16476  df-ovol 18928  df-vol 18929  df-mbf 19079  df-itg1 19080  df-itg2 19081  df-0p 19129
 Copyright terms: Public domain W3C validator