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Theorem itg2seq 19626
 Description: Definitional property of the integral: for any function there is a countable sequence of simple functions less than whose integrals converge to the integral of . (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 19639, but unlike that theorem this one doesn't require to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 9999 . . . . . . . . . . . 12
21ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11
3 ltpnf 10713 . . . . . . . . . . 11
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10
5 iftrue 3737 . . . . . . . . . . 11
65adantl 453 . . . . . . . . . 10
7 simpr 448 . . . . . . . . . 10
84, 6, 73brtr4d 4234 . . . . . . . . 9
9 iffalse 3738 . . . . . . . . . . 11
109adantl 453 . . . . . . . . . 10
11 itg2cl 19616 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 xrrebnd 10748 . . . . . . . . . . . . . . 15
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
14 itg2ge0 19619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16 mnflt 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18 mnfxr 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19 0xr 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20 xrltletr 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2118, 19, 20mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2211, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2317, 22mpani 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2414, 23mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14
26 nltpnft 10746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2711, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827con2bid 320 . . . . . . . . . . . . . 14
2913, 25, 283bitr2rd 274 . . . . . . . . . . . . 13
3029biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12
3130adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
32 nnrp 10613 . . . . . . . . . . . . 13
3332rpreccld 10650 . . . . . . . . . . . 12
3433ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11
3531, 34ltsubrpd 10668 . . . . . . . . . 10
3610, 35eqbrtrd 4224 . . . . . . . . 9
378, 36pm2.61dan 767 . . . . . . . 8
38 nnrecre 10028 . . . . . . . . . . . . 13
3938ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12
4031, 39resubcld 9457 . . . . . . . . . . 11
412, 40ifclda 3758 . . . . . . . . . 10
4241rexrd 9126 . . . . . . . . 9
4311adantr 452 . . . . . . . . 9
44 xrltnle 9136 . . . . . . . . 9
4542, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . 8
4637, 45mpbid 202 . . . . . . 7
47 itg2leub 19618 . . . . . . . 8
4842, 47syldan 457 . . . . . . 7
4946, 48mtbid 292 . . . . . 6
50 rexanali 2743 . . . . . 6
5149, 50sylibr 204 . . . . 5
52 itg1cl 19569 . . . . . . . 8
53 ltnle 9147 . . . . . . . 8
5441, 52, 53syl2an 464 . . . . . . 7
5554anbi2d 685 . . . . . 6
5655rexbidva 2714 . . . . 5
5751, 56mpbird 224 . . . 4
5857ralrimiva 2781 . . 3
59 ovex 6098 . . . . 5
60 i1ff 19560 . . . . . . 7
61 reex 9073 . . . . . . . 8
6261, 61elmap 7034 . . . . . . 7
6360, 62sylibr 204 . . . . . 6
6463ssriv 3344 . . . . 5
6559, 64ssexi 4340 . . . 4
66 nnenom 11311 . . . 4
67 breq1 4207 . . . . 5
68 fveq2 5720 . . . . . 6
6968breq2d 4216 . . . . 5
7067, 69anbi12d 692 . . . 4
7165, 66, 70axcc4 8311 . . 3
7258, 71syl 16 . 2
73 simprl 733 . . . . 5
74 simpl 444 . . . . . . 7
7574ralimi 2773 . . . . . 6
7675ad2antll 710 . . . . 5
77 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
7877fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12
7978cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . 11
8079rneqi 5088 . . . . . . . . . 10
8180supeq1i 7444 . . . . . . . . 9
82 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 itg1cl 19569 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
85 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14
8684, 85fmptd 5885 . . . . . . . . . . . . 13
8786ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12
88 frn 5589 . . . . . . . . . . . 12
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11
90 ressxr 9121 . . . . . . . . . . 11
9189, 90syl6ss 3352 . . . . . . . . . 10
92 supxrcl 10885 . . . . . . . . . 10
9391, 92syl 16 . . . . . . . . 9
9481, 93syl5eqelr 2520 . . . . . . . 8
95 elxr 10708 . . . . . . . . . . 11
96 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 arch 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
995adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10099breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101100rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10298, 101mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10330adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105103, 104resubcld 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107104, 103posdifd 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108106, 107mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109 nnrecl 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110105, 108, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11138adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113104adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114 ltsub13 9501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115111, 112, 113, 114syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1169ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117116breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118115, 117bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119118rexbidva 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120110, 119mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121102, 120pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14
123 rexr 9122 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . 15
125123, 11, 124syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
126123ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12742adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129126, 127, 128syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130129rexbidva 2714 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 rexnal 2708 . . . . . . . . . . . . . . 15
132130, 131syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14
133122, 125, 1323imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . 13
134133con4d 99 . . . . . . . . . . . 12
13511adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
136 pnfge 10719 . . . . . . . . . . . . . . 15
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
138 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
139137, 138breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . 13
140139a1d 23 . . . . . . . . . . . 12
141 1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . 15
142 ne0i 3626 . . . . . . . . . . . . . . 15
143141, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
144 r19.2z 3709 . . . . . . . . . . . . . 14
145143, 144mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13
14641adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147 mnflt 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148 rexr 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15018, 148, 149sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151147, 150mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152146, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155152, 154mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . 15
156155nrexdv 2801 . . . . . . . . . . . . . 14
157156pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . 13
158145, 157syl5 30 . . . . . . . . . . . 12
159134, 140, 1583jaodan 1250 . . . . . . . . . . 11
16095, 159sylan2b 462 . . . . . . . . . 10
161160ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9
162161adantr 452 . . . . . . . 8
16342adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13
16484adantll 695 . . . . . . . . . . . . . 14
165164rexrd 9126 . . . . . . . . . . . . 13
166 xrltle 10734 . . . . . . . . . . . . 13
167163, 165, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
16886adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
169168, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170169, 90syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
17280, 171syl5eqssr 3385 . . . . . . . . . . . . . 14
173 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
174173fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
175 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
176 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
177174, 175, 176fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179178, 175fnmpti 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181179, 180mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182177, 181eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15
183182adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
184 supxrub 10895 . . . . . . . . . . . . . 14
185172, 183, 184syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
186171, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
18781, 186syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . . . 14
188 xrletr 10740 . . . . . . . . . . . . . 14
189163, 165, 187, 188syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
190185, 189mpan2d 656 . . . . . . . . . . . 12
191167, 190syld 42 . . . . . . . . . . 11
192191adantld 454 . . . . . . . . . 10
193192ralimdva 2776 . . . . . . . . 9
194193impr 603 . . . . . . . 8
195 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11
196195ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10
197 breq2 4208 . . . . . . . . . 10
198196, 197imbi12d 312 . . . . . . . . 9
199198rspcv 3040 . . . . . . . 8
20094, 162, 194, 199syl3c 59 . . . . . . 7
201200, 81syl6breqr 4244 . . . . . 6
202 itg2ub 19617 . . . . . . . . . . . . . . 15
2032023expia 1155 . . . . . . . . . . . . . 14
20482, 203sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13
205204anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12
206205adantrd 455 . . . . . . . . . . 11
207206ralimdva 2776 . . . . . . . . . 10
208207impr 603 . . . . . . . . 9
20978, 85, 178fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . 12
210209breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11
211210ralbiia 2729 . . . . . . . . . 10
21278breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11
213212cbvralv 2924 . . . . . . . . . 10
214211, 213bitr4i 244 . . . . . . . . 9
215208, 214sylibr 204 . . . . . . . 8
216 ffn 5583 . . . . . . . . 9
217 breq1 4207 . . . . . . . . . 10
218217ralrn 5865 . . . . . . . . 9
21987, 216, 2183syl 19 . . . . . . . 8
220215, 219mpbird 224 . . . . . . 7
22111adantr 452 . . . . . . . 8
222 supxrleub 10897 . . . . . . . 8
22391, 221, 222syl2anc 643 . . . . . . 7
224220, 223mpbird 224 . . . . . 6
22511adantr 452 . . . . . . . 8
226170, 92syl 16 . . . . . . . 8
227 xrletri3 10737 . . . . . . . 8
228225, 226, 227syl2anc 643 . . . . . . 7
229228adantrr 698 . . . . . 6
230201, 224, 229mpbir2and 889 . . . . 5
23173, 76, 2303jca 1134 . . . 4
232231ex 424 . . 3
233232eximdv 1632 . 2
23472, 233mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3o 935   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  c0 3620  cif 3731   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cdm 4870   crn 4871   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cofr 6296   cmap 7010  csup 7437  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cpnf 9109   cmnf 9110  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  crp 10604  cicc 10911  citg1 19499  citg2 19500 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506
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