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Theorem itg2seq 19097
Description: Definitional property of the  S.2 integral: for any function  F there is a countable sequence 
g of simple functions less than  F whose integrals converge to the integral of  F. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 19110, but unlike that theorem this one doesn't require  F to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Distinct variable group:    g, n, F

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables  f  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
21ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  n  e.  RR )
3 ltpnf 10463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  RR  ->  n  <  +oo )
42, 3syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  n  <  +oo )
5 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S.2 `  F )  =  +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
65adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  n )
7 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  =  +oo )
84, 6, 73brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
9 iffalse 3572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( S.2 `  F
)  =  +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
109adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
11 itg2cl 19087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
12 xrrebnd 10497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  <  +oo ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  <  +oo ) ) )
14 itg2ge0 19090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  F
) )
15 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
16 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -oo  <  0
18 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -oo  e.  RR*
19 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
20 xrltletr 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR* )  ->  ( (  -oo  <  0  /\  0  <_ 
( S.2 `  F ) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2118, 19, 20mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2211, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F ) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F
) ) )
2317, 22mpani 657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
0  <_  ( S.2 `  F )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2414, 23mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) )
2524biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  <  +oo  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F )  /\  ( S.2 `  F
)  <  +oo ) ) )
26 nltpnft 10495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  =  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  <  +oo ) )
2711, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  =  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  <  +oo ) )
2827con2bid 319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  <  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo ) )
2913, 25, 283bitr2rd 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( -.  ( S.2 `  F
)  =  +oo  <->  ( S.2 `  F )  e.  RR ) )
3029biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
3130adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
32 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3332rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
3433ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
3531, 34ltsubrpd 10418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  <  ( S.2 `  F ) )
3610, 35eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F ) )
378, 36pm2.61dan 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F ) )
38 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3938ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
4031, 39resubcld 9211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  e.  RR )
412, 40ifclda 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
4241rexrd 8881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
4311adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
44 xrltnle 8891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4542, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4637, 45mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
47 itg2leub 19089 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4842, 47syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4946, 48mtbid 291 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
50 rexanali 2589 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5149, 50sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
52 itg1cl 19040 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
53 ltnle 8902 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR  /\  ( S.1 `  f )  e.  RR )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5441, 52, 53syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5554anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( (
f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  f ) )  <-> 
( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5655rexbidva 2560 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5751, 56mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
5857ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. n  e.  NN  E. f  e. 
dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
59 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  RR )  e. 
_V
60 i1ff 19031 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x : RR --> RR )
61 reex 8828 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
6261, 61elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  RR )  <->  x : RR --> RR )
6360, 62sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x  e.  ( RR  ^m  RR ) )
6463ssriv 3184 . . . . 5  |-  dom  S.1  C_  ( RR  ^m  RR )
6559, 64ssexi 4159 . . . 4  |-  dom  S.1  e.  _V
66 nnenom 11042 . . . 4  |-  NN  ~~  om
67 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
f  o R  <_  F 
<->  ( g `  n
)  o R  <_  F ) )
68 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( S.1 `  f )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
6968breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <-> 
if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) )
7067, 69anbi12d 691 . . . 4  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7165, 66, 70axcc4 8065 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7258, 71syl 15 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
73 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
g : NN --> dom  S.1 )
74 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  ( g `  n )  o R  <_  F )
7574ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F )
7675ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F )
77 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7877fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
7978cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
8079rneqi 4905 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
8180supeq1i 7200 . . . . . . . . 9  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
82 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( g `  n )  e.  dom  S.1 )
83 itg1cl 19040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  e.  RR )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  e.  RR )
85 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )
8684, 85fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> dom  S.1  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
8786ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
88 frn 5395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
90 ressxr 8876 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
9189, 90syl6ss 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
92 supxrcl 10633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
9481, 93syl5eqelr 2368 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
95 elxr 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = 
+oo  \/  x  =  -oo ) )
96 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  x  e.  RR )
97 arch 9962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
995adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
10099breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  x  <  n ) )
101100rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n
) )
10298, 101mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
10330adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
104 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  x  e.  RR )
105103, 104resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR )
106 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  x  <  ( S.2 `  F
) )
107104, 103posdifd 9359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( x  <  ( S.2 `  F )  <->  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) ) )
108106, 107mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
0  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
109 nnrecl 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x ) )
110105, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
11138adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR )
112103adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
113104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
114 ltsub13 9255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
1169ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )
117116breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
118115, 117bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
119118rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
120110, 119mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
121102, 120pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  ( S.2 `  F
) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
122121expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
123 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
124 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
125123, 11, 124syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
126123ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
12742adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
128 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
129126, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  < 
if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  x ) )
130129rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
131 rexnal 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
132130, 131syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
133122, 125, 1323imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( S.2 `  F
)  <_  x  ->  -. 
A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
134133con4d 97 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
13511adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
136 pnfge 10469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( S.2 `  F )  <_  +oo )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  <_  +oo )
138 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  x  =  +oo )
139137, 138breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  <_  x )
140139a1d 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
141 1nn 9757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
142 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
143141, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =/=  (/)
144 r19.2z 3543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
145143, 144mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
14641adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR )
147 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
148 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
149 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (  -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  -oo ) )
15018, 148, 149sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  (  -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  -oo ) )
151147, 150mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  -oo )
152146, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  -oo )
153 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  -oo )
154153breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  -oo ) )
155152, 154mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
156155nrexdv 2646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  -.  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
157156pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  ( E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
158145, 157syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
159134, 140, 1583jaodan 1248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  \/  x  =  +oo  \/  x  =  -oo ) )  -> 
( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16095, 159sylan2b 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
161160ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
162161adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16342adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
16484adantll 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e.  RR )
165164rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )
166 xrltle 10483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
167163, 165, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
16886adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
169168, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
170169, 90syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
171170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
17280, 171syl5eqssr 3223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  C_  RR* )
173 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
174173fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  ( S.1 `  ( g `  m ) )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
175 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
176 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S.1 `  ( g `  n
) )  e.  _V
177174, 175, 176fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
178 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S.1 `  ( g `  m
) )  e.  _V
179178, 175fnmpti 5372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  Fn  NN
180 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) `  n
)  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) )
181179, 180mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) )
182177, 181eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
183182adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
184 supxrub 10643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) )  C_  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
185172, 183, 184syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
186171, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
18781, 186syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
188 xrletr 10489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
189163, 165, 187, 188syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
190185, 189mpan2d 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191167, 190syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
192191adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
193192ralimdva 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
194193impr 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
195 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
196195ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  <->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
197 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S.2 `  F )  <_  x  <->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
198196, 197imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  <->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
199198rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
20094, 162, 194, 199syl3c 57 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
201200, 81syl6breqr 4063 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
202 itg2ub 19088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g `  n )  e.  dom  S.1  /\  (
g `  n )  o R  <_  F )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) )
2032023expia 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g `  n )  e.  dom  S.1 )  ->  (
( g `  n
)  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
20482, 203sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
g `  n )  o R  <_  F  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
205204anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
206205adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  ( S.1 `  ( g `  n
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
207206ralimdva 2621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
208207impr 602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20978, 85, 178fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
210209breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( S.1 `  ( g `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
211210ralbiia 2575 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
21278breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  ( S.1 `  (
g `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
213212cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
214211, 213bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
215208, 214sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) )
216 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN )
217 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
218217ralrn 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
21987, 216, 2183syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
220215, 219mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) )
22111adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
222 supxrleub 10645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
22391, 221, 222syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
224220, 223mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) )
22511adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
226170, 92syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
227 xrletri3 10486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
228225, 226, 227syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
229228adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
230201, 224, 229mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
23173, 76, 2303jca 1132 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
232231ex 423 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) )  ->  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
233232eximdv 1608 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
23472, 233mpd 14 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   RR+crp 10354   [,]cicc 10659   S.1citg1 18970   S.2citg2 18971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977
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