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Theorem itg2seq 19626
Description: Definitional property of the  S.2 integral: for any function  F there is a countable sequence 
g of simple functions less than  F whose integrals converge to the integral of  F. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 19639, but unlike that theorem this one doesn't require  F to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Distinct variable group:    g, n, F

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables  f  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
21ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  n  e.  RR )
3 ltpnf 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  RR  ->  n  <  +oo )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  n  <  +oo )
5 iftrue 3737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S.2 `  F )  =  +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
65adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  n )
7 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  =  +oo )
84, 6, 73brtr4d 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
9 iffalse 3738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( S.2 `  F
)  =  +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
109adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
11 itg2cl 19616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
12 xrrebnd 10748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  <  +oo ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  <  +oo ) ) )
14 itg2ge0 19619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  F
) )
15 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
16 mnflt 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -oo  <  0
18 mnfxr 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -oo  e.  RR*
19 0xr 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
20 xrltletr 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR* )  ->  ( (  -oo  <  0  /\  0  <_ 
( S.2 `  F ) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2118, 19, 20mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2211, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F ) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F
) ) )
2317, 22mpani 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
0  <_  ( S.2 `  F )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2414, 23mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) )
2524biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  <  +oo  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F )  /\  ( S.2 `  F
)  <  +oo ) ) )
26 nltpnft 10746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  =  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  <  +oo ) )
2711, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  =  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  <  +oo ) )
2827con2bid 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  <  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo ) )
2913, 25, 283bitr2rd 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( -.  ( S.2 `  F
)  =  +oo  <->  ( S.2 `  F )  e.  RR ) )
3029biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
3130adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
32 nnrp 10613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3332rpreccld 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
3433ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
3531, 34ltsubrpd 10668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  <  ( S.2 `  F ) )
3610, 35eqbrtrd 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F ) )
378, 36pm2.61dan 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F ) )
38 nnrecre 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3938ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
4031, 39resubcld 9457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  e.  RR )
412, 40ifclda 3758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
4241rexrd 9126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
4311adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
44 xrltnle 9136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4542, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4637, 45mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
47 itg2leub 19618 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4842, 47syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4946, 48mtbid 292 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
50 rexanali 2743 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5149, 50sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
52 itg1cl 19569 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
53 ltnle 9147 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR  /\  ( S.1 `  f )  e.  RR )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5441, 52, 53syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5554anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( (
f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  f ) )  <-> 
( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5655rexbidva 2714 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5751, 56mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
5857ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. n  e.  NN  E. f  e. 
dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
59 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  RR )  e. 
_V
60 i1ff 19560 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x : RR --> RR )
61 reex 9073 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
6261, 61elmap 7034 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  RR )  <->  x : RR --> RR )
6360, 62sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x  e.  ( RR  ^m  RR ) )
6463ssriv 3344 . . . . 5  |-  dom  S.1  C_  ( RR  ^m  RR )
6559, 64ssexi 4340 . . . 4  |-  dom  S.1  e.  _V
66 nnenom 11311 . . . 4  |-  NN  ~~  om
67 breq1 4207 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
f  o R  <_  F 
<->  ( g `  n
)  o R  <_  F ) )
68 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( S.1 `  f )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
6968breq2d 4216 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <-> 
if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) )
7067, 69anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7165, 66, 70axcc4 8311 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7258, 71syl 16 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
73 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
g : NN --> dom  S.1 )
74 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  ( g `  n )  o R  <_  F )
7574ralimi 2773 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F )
7675ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F )
77 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7877fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
7978cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
8079rneqi 5088 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
8180supeq1i 7444 . . . . . . . . 9  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
82 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( g `  n )  e.  dom  S.1 )
83 itg1cl 19569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  e.  RR )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  e.  RR )
85 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )
8684, 85fmptd 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> dom  S.1  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
8786ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
88 frn 5589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
90 ressxr 9121 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
9189, 90syl6ss 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
92 supxrcl 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
9481, 93syl5eqelr 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
95 elxr 10708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = 
+oo  \/  x  =  -oo ) )
96 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  x  e.  RR )
97 arch 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
995adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
10099breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  x  <  n ) )
101100rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n
) )
10298, 101mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
10330adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
104 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  x  e.  RR )
105103, 104resubcld 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR )
106 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  x  <  ( S.2 `  F
) )
107104, 103posdifd 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( x  <  ( S.2 `  F )  <->  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) ) )
108106, 107mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
0  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
109 nnrecl 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x ) )
110105, 108, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
11138adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR )
112103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
113104adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
114 ltsub13 9501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
1169ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )
117116breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
118115, 117bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
119118rexbidva 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
120110, 119mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
121102, 120pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  ( S.2 `  F
) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
122121expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
123 rexr 9122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
124 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
125123, 11, 124syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
126123ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
12742adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
128 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
129126, 127, 128syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  < 
if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  x ) )
130129rexbidva 2714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
131 rexnal 2708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
132130, 131syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
133122, 125, 1323imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( S.2 `  F
)  <_  x  ->  -. 
A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
134133con4d 99 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
13511adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
136 pnfge 10719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( S.2 `  F )  <_  +oo )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  <_  +oo )
138 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  x  =  +oo )
139137, 138breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  <_  x )
140139a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
141 1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
142 ne0i 3626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
143141, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =/=  (/)
144 r19.2z 3709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
145143, 144mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
14641adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR )
147 mnflt 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
148 rexr 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
149 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (  -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  -oo ) )
15018, 148, 149sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  (  -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  -oo ) )
151147, 150mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  -oo )
152146, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  -oo )
153 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  -oo )
154153breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  -oo ) )
155152, 154mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
156155nrexdv 2801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  -.  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
157156pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  ( E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
158145, 157syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
159134, 140, 1583jaodan 1250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  \/  x  =  +oo  \/  x  =  -oo ) )  -> 
( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16095, 159sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
161160ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
162161adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16342adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
16484adantll 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e.  RR )
165164rexrd 9126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )
166 xrltle 10734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
167163, 165, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
16886adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
169168, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
170169, 90syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
17280, 171syl5eqssr 3385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  C_  RR* )
173 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
174173fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  ( S.1 `  ( g `  m ) )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
175 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
176 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S.1 `  ( g `  n
) )  e.  _V
177174, 175, 176fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
178 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S.1 `  ( g `  m
) )  e.  _V
179178, 175fnmpti 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  Fn  NN
180 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) `  n
)  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) )
181179, 180mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) )
182177, 181eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
183182adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
184 supxrub 10895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) )  C_  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
185172, 183, 184syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
186171, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
18781, 186syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
188 xrletr 10740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
189163, 165, 187, 188syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
190185, 189mpan2d 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191167, 190syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
192191adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
193192ralimdva 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
194193impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
195 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
196195ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  <->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
197 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S.2 `  F )  <_  x  <->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
198196, 197imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  <->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
199198rspcv 3040 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
20094, 162, 194, 199syl3c 59 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
201200, 81syl6breqr 4244 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
202 itg2ub 19617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g `  n )  e.  dom  S.1  /\  (
g `  n )  o R  <_  F )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) )
2032023expia 1155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g `  n )  e.  dom  S.1 )  ->  (
( g `  n
)  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
20482, 203sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
g `  n )  o R  <_  F  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
205204anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
206205adantrd 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  ( S.1 `  ( g `  n
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
207206ralimdva 2776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
208207impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20978, 85, 178fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
210209breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( S.1 `  ( g `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
211210ralbiia 2729 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
21278breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  ( S.1 `  (
g `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
213212cbvralv 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
214211, 213bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
215208, 214sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) )
216 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN )
217 breq1 4207 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
218217ralrn 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
21987, 216, 2183syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
220215, 219mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) )
22111adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
222 supxrleub 10897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
22391, 221, 222syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
224220, 223mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) )
22511adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
226170, 92syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
227 xrletri3 10737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
228225, 226, 227syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
229228adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
230201, 224, 229mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
23173, 76, 2303jca 1134 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
232231ex 424 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) )  ->  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
233232eximdv 1632 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
23472, 233mpd 15 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Rcofr 6296    ^m cmap 7010   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    +oocpnf 9109    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   RR+crp 10604   [,]cicc 10911   S.1citg1 19499   S.2citg2 19500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506
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