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Theorem itg2seq 19113
Description: Definitional property of the  S.2 integral: for any function  F there is a countable sequence 
g of simple functions less than  F whose integrals converge to the integral of  F. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 19126, but unlike that theorem this one doesn't require  F to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Distinct variable group:    g, n, F

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables  f  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 9769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
21ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  n  e.  RR )
3 ltpnf 10479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  RR  ->  n  <  +oo )
42, 3syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  n  <  +oo )
5 iftrue 3584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S.2 `  F )  =  +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
65adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  n )
7 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  =  +oo )
84, 6, 73brtr4d 4069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
9 iffalse 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( S.2 `  F
)  =  +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
109adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
11 itg2cl 19103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
12 xrrebnd 10513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  <  +oo ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  <  +oo ) ) )
14 itg2ge0 19106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  F
) )
15 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
16 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -oo  <  0
18 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -oo  e.  RR*
19 0xr 8894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
20 xrltletr 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR* )  ->  ( (  -oo  <  0  /\  0  <_ 
( S.2 `  F ) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2118, 19, 20mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2211, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F ) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F
) ) )
2317, 22mpani 657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
0  <_  ( S.2 `  F )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2414, 23mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) )
2524biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  <  +oo  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F )  /\  ( S.2 `  F
)  <  +oo ) ) )
26 nltpnft 10511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  =  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  <  +oo ) )
2711, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  =  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  <  +oo ) )
2827con2bid 319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  <  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo ) )
2913, 25, 283bitr2rd 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( -.  ( S.2 `  F
)  =  +oo  <->  ( S.2 `  F )  e.  RR ) )
3029biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
3130adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
32 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3332rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
3433ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
3531, 34ltsubrpd 10434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  <  ( S.2 `  F ) )
3610, 35eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F ) )
378, 36pm2.61dan 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F ) )
38 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3938ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
4031, 39resubcld 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  e.  RR )
412, 40ifclda 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
4241rexrd 8897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
4311adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
44 xrltnle 8907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4542, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4637, 45mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
47 itg2leub 19105 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4842, 47syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4946, 48mtbid 291 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
50 rexanali 2602 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5149, 50sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
52 itg1cl 19056 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
53 ltnle 8918 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR  /\  ( S.1 `  f )  e.  RR )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5441, 52, 53syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5554anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( (
f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  f ) )  <-> 
( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5655rexbidva 2573 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5751, 56mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
5857ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. n  e.  NN  E. f  e. 
dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
59 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  RR )  e. 
_V
60 i1ff 19047 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x : RR --> RR )
61 reex 8844 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
6261, 61elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  RR )  <->  x : RR --> RR )
6360, 62sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x  e.  ( RR  ^m  RR ) )
6463ssriv 3197 . . . . 5  |-  dom  S.1  C_  ( RR  ^m  RR )
6559, 64ssexi 4175 . . . 4  |-  dom  S.1  e.  _V
66 nnenom 11058 . . . 4  |-  NN  ~~  om
67 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
f  o R  <_  F 
<->  ( g `  n
)  o R  <_  F ) )
68 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( S.1 `  f )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
6968breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <-> 
if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) )
7067, 69anbi12d 691 . . . 4  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7165, 66, 70axcc4 8081 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7258, 71syl 15 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
73 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
g : NN --> dom  S.1 )
74 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  ( g `  n )  o R  <_  F )
7574ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F )
7675ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7877fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
7978cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
8079rneqi 4921 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
8180supeq1i 7216 . . . . . . . . 9  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
82 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( g `  n )  e.  dom  S.1 )
83 itg1cl 19056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  e.  RR )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  e.  RR )
85 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )
8684, 85fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> dom  S.1  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
8786ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
88 frn 5411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
90 ressxr 8892 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
9189, 90syl6ss 3204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
92 supxrcl 10649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
9481, 93syl5eqelr 2381 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
95 elxr 10474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = 
+oo  \/  x  =  -oo ) )
96 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  x  e.  RR )
97 arch 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
995adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
10099breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  x  <  n ) )
101100rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n
) )
10298, 101mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
10330adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
104 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  x  e.  RR )
105103, 104resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR )
106 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  x  <  ( S.2 `  F
) )
107104, 103posdifd 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( x  <  ( S.2 `  F )  <->  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) ) )
108106, 107mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
0  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
109 nnrecl 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x ) )
110105, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
11138adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR )
112103adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
113104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
114 ltsub13 9271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
1169ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )
117116breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
118115, 117bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
119118rexbidva 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
120110, 119mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
121102, 120pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  ( S.2 `  F
) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
122121expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
123 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
124 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
125123, 11, 124syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
126123ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
12742adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
128 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
129126, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  < 
if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  x ) )
130129rexbidva 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
131 rexnal 2567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
132130, 131syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
133122, 125, 1323imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( S.2 `  F
)  <_  x  ->  -. 
A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
134133con4d 97 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
13511adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
136 pnfge 10485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( S.2 `  F )  <_  +oo )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  <_  +oo )
138 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  x  =  +oo )
139137, 138breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  <_  x )
140139a1d 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
141 1nn 9773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
142 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
143141, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =/=  (/)
144 r19.2z 3556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
145143, 144mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
14641adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR )
147 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
148 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
149 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (  -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  -oo ) )
15018, 148, 149sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  (  -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  -oo ) )
151147, 150mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  -oo )
152146, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  -oo )
153 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  -oo )
154153breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  -oo ) )
155152, 154mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
156155nrexdv 2659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  -.  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
157156pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  ( E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
158145, 157syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
159134, 140, 1583jaodan 1248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  \/  x  =  +oo  \/  x  =  -oo ) )  -> 
( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16095, 159sylan2b 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
161160ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
162161adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16342adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
16484adantll 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e.  RR )
165164rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )
166 xrltle 10499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
167163, 165, 166syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
16886adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
169168, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
170169, 90syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
171170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
17280, 171syl5eqssr 3236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  C_  RR* )
173 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
174173fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  ( S.1 `  ( g `  m ) )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
175 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
176 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S.1 `  ( g `  n
) )  e.  _V
177174, 175, 176fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
178 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S.1 `  ( g `  m
) )  e.  _V
179178, 175fnmpti 5388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  Fn  NN
180 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) `  n
)  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) )
181179, 180mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) )
182177, 181eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
183182adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
184 supxrub 10659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) )  C_  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
185172, 183, 184syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
186171, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
18781, 186syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
188 xrletr 10505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
189163, 165, 187, 188syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
190185, 189mpan2d 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191167, 190syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
192191adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
193192ralimdva 2634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
194193impr 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
195 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
196195ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  <->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
197 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S.2 `  F )  <_  x  <->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
198196, 197imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  <->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
199198rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
20094, 162, 194, 199syl3c 57 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
201200, 81syl6breqr 4079 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
202 itg2ub 19104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g `  n )  e.  dom  S.1  /\  (
g `  n )  o R  <_  F )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) )
2032023expia 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g `  n )  e.  dom  S.1 )  ->  (
( g `  n
)  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
20482, 203sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
g `  n )  o R  <_  F  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
205204anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
206205adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  ( S.1 `  ( g `  n
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
207206ralimdva 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
208207impr 602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20978, 85, 178fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
210209breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( S.1 `  ( g `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
211210ralbiia 2588 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
21278breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  ( S.1 `  (
g `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
213212cbvralv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
214211, 213bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
215208, 214sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) )
216 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN )
217 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
218217ralrn 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
21987, 216, 2183syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
220215, 219mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) )
22111adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
222 supxrleub 10661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
22391, 221, 222syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
224220, 223mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) )
22511adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
226170, 92syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
227 xrletri3 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
228225, 226, 227syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
229228adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
230201, 224, 229mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
23173, 76, 2303jca 1132 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
232231ex 423 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) )  ->  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
233232eximdv 1612 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
23472, 233mpd 14 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Rcofr 6093    ^m cmap 6788   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   RR+crp 10370   [,]cicc 10675   S.1citg1 18986   S.2citg2 18987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993
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