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Theorem itg2split 19104
Description: The  S.2 integral splits under an almost disjoint union. (The proof avoids the use of itg2add 19114 which requires CC.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
itg2split.i  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
itg2split.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
itg2split.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
itg2split.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
itg2split.g  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
itg2split.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
itg2split.sf  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2split.sg  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2split  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)

Proof of Theorem itg2split
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
2 itg2split.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3 itg2split.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
4 itg2split.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
5 itg2split.c . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
6 itg2split.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
7 itg2split.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
8 itg2split.h . . 3  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
9 itg2split.sf . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
10 itg2split.sg . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10itg2splitlem 19103 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
1210adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
135adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
14 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
15 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
16 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
1714, 15, 16mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
1817a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  U )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1913, 18ifclda 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
2019, 8fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
219, 10readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
22 itg2lecl 19093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )  -> 
( S.2 `  H )  e.  RR )
2320, 21, 11, 22syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR )
2423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  H )  e.  RR )
25 itg1cl 19040 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
2625ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
27 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
28 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  g  e.  dom  S.1 )
2927, 28itg1add 19056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  (
f  o F  +  g ) )  =  ( ( S.1 `  f
)  +  ( S.1 `  g ) ) )
3020adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  H : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
3127, 28i1fadd 19050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( f  o F  +  g )  e.  dom  S.1 )
32 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
33 mblss 18890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
341, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3532, 34syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  RR )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  RR )
373adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( vol * `  ( A  i^i  B
) )  =  0 )
38 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x ph
39 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  f  e.  dom  S.1
40 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
f
41 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x  o R  <_
42 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
436, 42nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x F
4440, 41, 43nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  f  o R  <_  F
4539, 44nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )
46 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  g  e.  dom  S.1
47 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
g
48 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
497, 48nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x G
5047, 41, 49nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  g  o R  <_  G
5146, 50nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G )
5245, 51nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) )
5338, 52nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )
54 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  x  e.  RR )
55 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
5627, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  f : RR --> RR )
57 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  f  Fn  RR )
59 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  g : RR --> RR )
6028, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  g : RR --> RR )
61 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g : RR --> RR  ->  g  Fn  RR )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  g  Fn  RR )
63 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  RR  e.  _V
6463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  RR  e.  _V )
65 inidm 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
66 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  x ) )
67 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  =  ( g `  x ) )
6858, 62, 64, 64, 65, 66, 67ofval 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( f  o F  +  g ) `  x )  =  ( ( f `  x
)  +  ( g `
 x ) ) )
6954, 68sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  o F  +  g ) `  x
)  =  ( ( f `  x )  +  ( g `  x ) ) )
70 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
7156, 54, 70syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
72 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( g `  x
)  e.  RR )
7360, 54, 72syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  RR )
7471, 73readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  e.  RR )
7574rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  e. 
RR* )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  e.  RR* )
7771adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
7877rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR* )
79 iccssxr 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
80 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( H `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8130, 54, 80syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8279, 81sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
8473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
85 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
8685a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
87 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  g  o R  <_  G )
8863a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  RR  e.  _V )
89 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
9089a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  e.  _V )
91 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
9291, 4syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
9392sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
9493adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
9594, 13syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
9617a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
9795, 96ifclda 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
9897adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
99 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  g  Fn  RR )
100 dffn5 5568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( g  Fn  RR  <->  g  =  ( x  e.  RR  |->  ( g `  x
) ) )
10199, 100sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  g  =  ( x  e.  RR  |->  ( g `  x
) ) )
1027a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
10388, 90, 98, 101, 102ofrfval2 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  ( g  o R  <_  G  <->  A. x  e.  RR  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) ) )
10462, 103syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( g  o R  <_  G  <->  A. x  e.  RR  ( g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
10587, 104mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( g `  x
)  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) )
106105r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
10754, 106sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
108107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
109 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  -.  x  e.  ( A  i^i  B ) )
110109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A  i^i  B
) )
111 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
112110, 111sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  -.  (
x  e.  A  /\  x  e.  B )
)
113 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
)  <->  -.  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
114112, 113sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B ) )
115114imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
116 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
118108, 117breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  0 )
11984, 86, 77, 118leadd2dd 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  0 ) )
12077recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  CC )
121120addid1d 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  0 )  =  ( f `  x ) )
122119, 121breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( f `  x ) )
123 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  f  o R  <_  F )
12463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  RR  e.  _V )
125 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
126125a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  _V )
127 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
128127, 4syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
129128sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
130129adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
131130, 13syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
13217a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
133131, 132ifclda 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
134133adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
135 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  f  Fn  RR )
136 dffn5 5568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  Fn  RR  <->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x
) ) )
137135, 136sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x
) ) )
1386a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
139124, 126, 134, 137, 138ofrfval2 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  ( f  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) )
14058, 139syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( f  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
141123, 140mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) )
142141r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
14354, 142sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
144143adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
145128ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  A  C_  U
)
146145sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
147 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  C )
148146, 147syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  C )
149 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
15019adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
1518fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> 
( H `  x
)  =  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
152149, 150, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
15354, 152sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
155 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
156155adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
157148, 154, 1563eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
158144, 157breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  ( H `  x
) )
15976, 78, 83, 122, 158xrletrd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( H `  x ) )
16075adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  e.  RR* )
16173adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
162161rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR* )
16382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
16471adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
16585a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
166143adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
167 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
168167adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
169166, 168breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  0 )
170164, 165, 161, 169leadd1dd 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( 0  +  ( g `  x
) ) )
171161recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  CC )
172171addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
0  +  ( g `
 x ) )  =  ( g `  x ) )
173170, 172breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( g `  x ) )
174107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
175153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
1764ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
177176eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  U  <->  x  e.  ( A  u.  B
) ) )
178 biorf 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( x  e.  B  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B )
) )
179 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
180178, 179syl6rbbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( x  e.  ( A  u.  B )  <-> 
x  e.  B ) )
181180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( A  u.  B )  <->  x  e.  B ) )
182177, 181bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  U  <->  x  e.  B ) )
183182ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
184175, 183eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
185174, 184breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  ( H `  x
) )
186160, 162, 163, 173, 185xrletrd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( H `  x ) )
187159, 186pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  <_ 
( H `  x
) )
18869, 187eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  o F  +  g ) `  x
)  <_  ( H `  x ) )
189188ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) )  ->  ( ( f  o F  +  g ) `  x )  <_  ( H `  x ) ) )
19053, 189ralrimi 2624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  o F  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
) )
191 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( ( f  o F  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
)
192 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( f  o F  +  g ) `
 y )
193 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x  <_
194 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
1958, 194nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x H
196 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
y
197195, 196nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( H `  y
)
198192, 193, 197nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ( f  o F  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
)
199 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( f  o F  +  g ) `  x )  =  ( ( f  o F  +  g ) `  y ) )
200 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
201199, 200breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( f  o F  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
)  <->  ( ( f  o F  +  g ) `  y )  <_  ( H `  y ) ) )
202191, 198, 201cbvral 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) ( ( f  o F  +  g ) `  x
)  <_  ( H `  x )  <->  A. y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  o F  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
) )
203190, 202sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  A. y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  o F  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
) )
204203r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  o F  +  g ) `  y
)  <_  ( H `  y ) )
20530, 31, 36, 37, 204itg2uba 19098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  (
f  o F  +  g ) )  <_ 
( S.2 `  H ) )
20629, 205eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( ( S.1 `  f )  +  ( S.1 `  g ) )  <_  ( S.2 `  H ) )
20726adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  f
)  e.  RR )
208 itg1cl 19040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  g )  e.  RR )
20928, 208syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  g
)  e.  RR )
21023adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR )
211207, 209, 210leaddsub2d 9374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( ( ( S.1 `  f )  +  ( S.1 `  g
) )  <_  ( S.2 `  H )  <->  ( S.1 `  g )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f
) ) ) )
212206, 211mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  o R  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  g
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) )
213212anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  o R  <_  G ) )  ->  ( S.1 `  g
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) )
214213expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( g  o R  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) ) ) )
215214ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) ) )
21697, 7fmptd 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
217216adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
21824, 26resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) )  e.  RR )
219218rexrd 8881 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) )  e.  RR* )
220 itg2leub 19089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f
) )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  G )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f
) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) ) ) )
221217, 219, 220syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  G )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) ) ) )
222215, 221mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  G )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f
) ) )
22312, 24, 26, 222lesubd 9376 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G
) ) )
224223expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
225224ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
226133, 6fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
22723, 10resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
228227rexrd 8881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
229 itg2leub 19089 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G
) )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  F )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G
) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
230226, 228, 229syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
231225, 230mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) )
232 leaddsub 9250 . . . 4  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR  /\  ( S.2 `  H )  e.  RR )  ->  (
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H )  <-> 
( S.2 `  F )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
2339, 10, 23, 232syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <_  ( S.2 `  H )  <->  ( S.2 `  F )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G
) ) ) )
234231, 233mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) )
235 itg2cl 19087 . . . 4  |-  ( H : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  H )  e. 
RR* )
23620, 235syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR* )
23721rexrd 8881 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
238 xrletri3 10486 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  H
)  e.  RR*  /\  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  H )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( ( S.2 `  H )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) ) ) )
239236, 237, 238syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  ( ( S.2 `  H )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) ) ) )
24011, 234, 239mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037   [,]cicc 10659   vol *covol 18822   volcvol 18823   S.1citg1 18970   S.2citg2 18971
This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  19117  itgsplit  19190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977
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