MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2splitlem Unicode version

Theorem itg2splitlem 19103
Description: Lemma for itg2split 19104. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
itg2split.i  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
itg2split.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
itg2split.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
itg2split.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
itg2split.g  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
itg2split.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
itg2split.sf  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2split.sg  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 19040 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
4 itg2split.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
54adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A  e.  dom  vol )
6 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )
76i1fres 19060 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
81, 5, 7syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
9 itg1cl 19040 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11 itg2split.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  B  e.  dom  vol )
13 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )
1413i1fres 19060 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
151, 12, 14syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
16 itg1cl 19040 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1715, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1810, 17readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
19 itg2split.sf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
20 itg2split.sg . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
2119, 20readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR )
23 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
24 mblss 18890 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
254, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2623, 25syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  RR )
2726adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  RR )
28 itg2split.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
2928adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( vol * `
 ( A  i^i  B ) )  =  0 )
30 reex 8828 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
3130a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
32 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
33 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
3432, 33ifex 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3534a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
3632, 33ifex 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3736a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
38 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
39 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
4031, 35, 37, 38, 39offval2 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )
4140adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) )
428, 15i1fadd 19050 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
4341, 42eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
44 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
451, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  f : RR
--> RR )
46 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  y  e.  RR )
47 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  e.  RR )
4845, 46, 47syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  RR )
4948leidd 9339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( f `  y ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
51 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
5251adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
53 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
5453adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
55 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5654, 55sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )
57 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
)  <->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5856, 57sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
) )
5958imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  -.  y  e.  B )
60 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6252, 61oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( ( f `  y )  +  0 ) )
6348recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  CC )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  CC )
6564addid1d 9012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
( f `  y
)  +  0 )  =  ( f `  y ) )
6662, 65eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( f `
 y ) )
6750, 66breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
6849ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
69 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7168, 70breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7372ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7473eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
75 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
7674, 75syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
7776notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) ) )
78 ioran 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
7977, 78syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) ) )
8079biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  -.  y  e.  U )
81 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  f  o R  <_  H )
82 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
8345, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  f  Fn  RR )
84 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8584adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
86 0xr 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  RR*
87 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <_  0
88 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
8986, 87, 88mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
9089a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  U )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
9185, 90ifclda 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
92 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
9391, 92fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  H : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
94 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( H : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  H  Fn  RR )
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  H  Fn  RR )
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  H  Fn  RR )
9730a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  RR  e.  _V )
98 inidm 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
99 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  =  ( f `
 y ) )
100 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( H `  y
)  =  ( H `
 y ) )
10183, 96, 97, 97, 98, 99, 100ofrfval 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( f  o R  <_  H  <->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
) )
10281, 101mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
)
103102r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
10446, 103sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  ( H `  y
) )
10646adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
y  e.  RR )
107 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U ) )
108 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
y
109 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
11092, 109nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x H
111110, 108nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( H `  y
)
112111nfeq1 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( H `  y
)  =  0
113 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
114113eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  =  0  <->  ( H `  y )  =  0 ) )
115 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U ) )
11692fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( H `  x )  =  (  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
117 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  0 )
118117fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
119 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
120 fvi 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
121119, 120ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
122118, 121syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  0 )
123116, 122sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U
)  ->  ( H `  x )  =  0 )
124115, 123sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  x )  =  0 )
125108, 112, 114, 124vtoclgaf 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
126107, 125sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( H `  y )  =  0 )
127106, 126sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
128105, 127breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
12980, 128syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
130129anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  0 )
13160adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  =  0 )
132130, 131breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  if (
y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
13371, 132pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
134 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
136135oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
137 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
138 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
13948, 137, 138sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  RR )
140139recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
141140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
142141addid2d 9013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
0  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
143136, 142eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
144133, 143breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
14567, 144pm2.61dan 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
146 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
147 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
148 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  0  =  0 )
149146, 147, 148ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 ) )
150 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
151150, 147, 148ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
152149, 151oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
153 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
154 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  e.  _V
155152, 153, 154fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `
 y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
156106, 155syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
157145, 156breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y ) )
1581, 27, 29, 43, 157itg1lea 19067 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
15941fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
1608, 15itg1add 19056 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
161159, 160eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
162158, 161breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) ) )
16319adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
16420adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
165 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
166165, 72syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
167166sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
168167adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
169168, 85syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
17089a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
171169, 170ifclda 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
172 itg2split.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
173171, 172fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
174173adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
175 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
176 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  e.  dom  S.1
177 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
f
178 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  o R  <_
179177, 178, 110nfbr 4067 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  o R  <_  H
180176, 179nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H )
181175, 180nfan 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )
1825, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A  C_  RR )
183182sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
18430a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
18532a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  _V )
18691adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
18744adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f : RR --> RR )
188187feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
18992a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
190184, 185, 186, 188, 189ofrfval2 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  H 
<-> 
A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
191190biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  H  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
192191impr 602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
193192r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
194183, 193syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
195167adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
196 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  C )
197195, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
198194, 197breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
199 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
200199adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
201 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
202201adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  =  C )
203198, 200, 2023brtr4d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
20487a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
205 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
206 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
207204, 205, 2063brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) )
208207adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
209203, 208pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
210209a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
211181, 210ralrimi 2624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
212172a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
21331, 35, 171, 38, 212ofrfval2 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
214213adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
215211, 214mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F
)
216 itg2ub 19088 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
217174, 8, 215, 216syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
218 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
219218, 72syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
220219sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
221220adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
222221, 85syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
22389a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
224222, 223ifclda 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
225 itg2split.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
226224, 225fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
227226adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
228 mblss 18890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
22912, 228syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  B  C_  RR )
230229sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  RR )
231230, 193syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
232220adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
233232, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
234231, 233breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
235 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
236235adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
237 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
238237adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  C , 
0 )  =  C )
239234, 236, 2383brtr4d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
24087a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  -> 
0  <_  0 )
241 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
242 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
243240, 241, 2423brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) )
244243adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
245239, 244pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
246245a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
247181, 246ralrimi 2624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
248225a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
24931, 37, 224, 39, 248ofrfval2 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
250249adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
251247, 250mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  G
)
252 itg2ub 19088 . . . . . . 7  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
253227, 15, 251, 252syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
25410, 17, 163, 164, 217, 253le2addd 9390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
2553, 18, 22, 162, 254letrd 8973 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
256255expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  H  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
257256ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
25821rexrd 8881 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
259 itg2leub 19089 . . 3  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  H )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
26093, 258, 259syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
261257, 260mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,]cicc 10659   vol *covol 18822   volcvol 18823   S.1citg1 18970   S.2citg2 18971
This theorem is referenced by:  itg2split  19104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977
  Copyright terms: Public domain W3C validator