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Theorem itg2splitlem 19630
Description: Lemma for itg2split 19631. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
itg2split.i  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
itg2split.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
itg2split.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
itg2split.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
itg2split.g  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
itg2split.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
itg2split.sf  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2split.sg  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2splitlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)

Proof of Theorem itg2splitlem
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 19567 . . . . . 6  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
4 itg2split.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
54adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A  e.  dom  vol )
6 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) )
76i1fres 19587 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
81, 5, 7syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
9 itg1cl 19567 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11 itg2split.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
1211adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  B  e.  dom  vol )
13 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )
1413i1fres 19587 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
151, 12, 14syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
16 itg1cl 19567 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1810, 17readdcld 9105 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
19 itg2split.sf . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
20 itg2split.sg . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
2119, 20readdcld 9105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR )
23 inss1 3553 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
24 mblss 19417 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
254, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2623, 25syl5ss 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  RR )
2726adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  RR )
28 itg2split.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
2928adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( vol * `
 ( A  i^i  B ) )  =  0 )
30 reex 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
32 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
33 c0ex 9075 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
3432, 33ifex 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
3632, 33ifex 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  e.  _V )
38 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
39 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
4031, 35, 37, 38, 39offval2 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )
4140adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) )
428, 15i1fadd 19577 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
4341, 42eqeltrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  e.  dom  S.1 )
44 i1ff 19558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
451, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  f : RR
--> RR )
46 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  y  e.  RR )
47 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  e.  RR )
4845, 46, 47syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  RR )
4948leidd 9583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( f `  y ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
51 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
53 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
5453adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  y  e.  ( A  i^i  B ) )
55 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5654, 55sylnib 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )
57 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
)  <->  -.  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
5856, 57sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  y  e.  B
) )
5958imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  -.  y  e.  B )
60 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
6252, 61oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( ( f `  y )  +  0 ) )
6348recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  e.  CC )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  CC )
6564addid1d 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
( f `  y
)  +  0 )  =  ( f `  y ) )
6662, 65eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( f `
 y ) )
6750, 66breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
6849ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  ( f `  y
) )
69 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7069adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  ( f `
 y ) )
7168, 70breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  y  e.  B )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
72 itg2split.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7372ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
7473eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
75 elun 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
7674, 75syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( y  e.  U  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
7776notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) ) )
78 ioran 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
7977, 78syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( -.  y  e.  U  <->  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) ) )
8079biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  -.  y  e.  U )
81 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  f  o R  <_  H )
82 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
8345, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  f  Fn  RR )
84 itg2split.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8584adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
86 0xr 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  RR*
87 0le0 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <_  0
88 elxrge0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
8986, 87, 88mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  U )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
9185, 90ifclda 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
92 itg2split.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
9391, 92fmptd 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  H : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
94 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( H : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  H  Fn  RR )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  H  Fn  RR )
9695adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  H  Fn  RR )
9730a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  RR  e.  _V )
98 inidm 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
99 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  =  ( f `
 y ) )
100 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( H `  y
)  =  ( H `
 y ) )
10183, 96, 97, 97, 98, 99, 100ofrfval 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( f  o R  <_  H  <->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
) )
10281, 101mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A. y  e.  RR  ( f `  y )  <_  ( H `  y )
)
103102r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
10446, 103sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( H `  y ) )
105104adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  ( H `  y
) )
10646adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
y  e.  RR )
107 eldif 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U ) )
108 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
y
109 nfmpt1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
11092, 109nfcxfr 2568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x H
111110, 108nffv 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( H `  y
)
112111nfeq1 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( H `  y
)  =  0
113 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
114113eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  =  0  <->  ( H `  y )  =  0 ) )
115 eldif 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U ) )
11692fvmpt2i 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( H `  x )  =  (  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
117 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  0 )
118117fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
119 0cn 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
120 fvi 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
121119, 120ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
122118, 121syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  e.  U  -> 
(  _I  `  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )  =  0 )
123116, 122sylan9eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  U
)  ->  ( H `  x )  =  0 )
124115, 123sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  x )  =  0 )
125108, 112, 114, 124vtoclgaf 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( RR  \  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
126107, 125sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( H `  y )  =  0 )
127106, 126sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  ( H `  y )  =  0 )
128105, 127breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
12980, 128syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  ( -.  y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )  ->  (
f `  y )  <_  0 )
130129anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  0 )
13160adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  =  0 )
132130, 131breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  /\  -.  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  <_  if (
y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
13371, 132pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) )
134 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
135134adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  =  0 )
136135oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
137 0re 9081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
138 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
13948, 137, 138sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  RR )
140139recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
141140adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 )  e.  CC )
142141addid2d 9257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
0  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
143136, 142eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
144133, 143breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `
 y ) ,  0 ) ) )
14567, 144pm2.61dan 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
146 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
147 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
148 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  0  =  0 )
149146, 147, 148ifbieq12d 3753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 ) )
150 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
151150, 147, 148ifbieq12d 3753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )
152149, 151oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) ) )
153 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )
154 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( y  e.  A ,  ( f `  y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B , 
( f `  y
) ,  0 ) )  e.  _V
155152, 153, 154fvmpt 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A ,  ( f `
 y ) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
156106, 155syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y )  =  ( if ( y  e.  A , 
( f `  y
) ,  0 )  +  if ( y  e.  B ,  ( f `  y ) ,  0 ) ) )
157145, 156breqtrrd 4230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) )  -> 
( f `  y
)  <_  ( (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) `  y ) )
1581, 27, 29, 43, 157itg1lea 19594 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
15941fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
1608, 15itg1add 19583 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
161159, 160eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  +  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
162158, 161breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 ) ) ) ) )
16319adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
16420adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
165 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
166165, 72syl5sseqr 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
167166sselda 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
168167adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
169168, 85syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
17089a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
171169, 170ifclda 3758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
172 itg2split.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
173171, 172fmptd 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
174173adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
175 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
176 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  e.  dom  S.1
177 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
f
178 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  o R  <_
179177, 178, 110nfbr 4248 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  f  o R  <_  H
180176, 179nfan 1846 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  o R  <_  H )
181175, 180nfan 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )
1825, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A  C_  RR )
183182sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
18430a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
18532a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  _V )
18691adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
18744adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f : RR --> RR )
188187feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
18992a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
190184, 185, 186, 188, 189ofrfval2 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  H 
<-> 
A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
191190biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  H  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) ) )
192191impr 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
193192r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
194183, 193syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
195167adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
196 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  C )
197195, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
198194, 197breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
199 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
200199adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
201 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
202201adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  =  C )
203198, 200, 2023brtr4d 4234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
20487a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
205 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
206 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
207204, 205, 2063brtr4d 4234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) )
208207adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
209203, 208pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
210209a1d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  A , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
211181, 210ralrimi 2779 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
212172a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
21331, 35, 171, 38, 212ofrfval2 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
214213adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
215211, 214mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F
)
216 itg2ub 19615 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
217174, 8, 215, 216syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
218 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
219218, 72syl5sseqr 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
220219sselda 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
221220adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
222221, 85syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
22389a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
224222, 223ifclda 3758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
225 itg2split.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
226224, 225fmptd 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
227226adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
228 mblss 19417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
22912, 228syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  B  C_  RR )
230229sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  RR )
231230, 193syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  U ,  C ,  0 ) )
232220adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
233232, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  U ,  C , 
0 )  =  C )
234231, 233breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  <_  C )
235 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  ( f `
 x ) )
236235adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  =  ( f `  x ) )
237 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
238237adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  C , 
0 )  =  C )
239234, 236, 2383brtr4d 4234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
24087a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  -> 
0  <_  0 )
241 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  =  0 )
242 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
243240, 241, 2423brtr4d 4234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) )
244243adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  /\  -.  x  e.  B
)  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
245239, 244pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
246245a1d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  ->  if (
x  e.  B , 
( f `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
247181, 246ralrimi 2779 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
248225a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
24931, 37, 224, 39, 248ofrfval2 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
250249adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  G  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
251247, 250mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  G
)
252 itg2ub 19615 . . . . . . 7  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) )  o R  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
253227, 15, 251, 252syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  G ) )
25410, 17, 163, 164, 217, 253le2addd 9634 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  ( f `  x ) ,  0 ) ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
2553, 18, 22, 162, 254letrd 9217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  o R  <_  H ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
256255expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  o R  <_  H  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
257256ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
25821rexrd 9124 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
259 itg2leub 19616 . . 3  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  H )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
26093, 258, 259syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  H  ->  ( S.1 `  f )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
261257, 260mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    _I cid 4485   dom cdm 4870    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    o Rcofr 6296   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980    + caddc 8983    +oocpnf 9107   RR*cxr 9109    <_ cle 9111   [,]cicc 10909   vol *covol 19349   volcvol 19350   S.1citg1 19497   S.2citg2 19498
This theorem is referenced by:  itg2split  19631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cmp 17440  df-ovol 19351  df-vol 19352  df-mbf 19502  df-itg1 19503  df-itg2 19504
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