MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ub Unicode version

Theorem itg2ub 19088
Description: The integral of a nonnegative real function  F is an upper bound on the integrals of all simple functions  G dominated by  F. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ub  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  o R  <_  F )  -> 
( S.1 `  G )  <_  ( S.2 `  F
) )

Proof of Theorem itg2ub
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  =  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }
21itg2lcl 19082 . . 3  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  C_  RR*
31itg2lr 19085 . . . 4  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  G  o R  <_  F )  ->  ( S.1 `  G )  e. 
{ x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } )
433adant1 973 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  o R  <_  F )  -> 
( S.1 `  G )  e.  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } )
5 supxrub 10643 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }  C_  RR*  /\  ( S.1 `  G )  e. 
{ x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } )  -> 
( S.1 `  G )  <_  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
62, 4, 5sylancr 644 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  o R  <_  F )  -> 
( S.1 `  G )  <_  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
71itg2val 19083 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
873ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  o R  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  o R  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
96, 8breqtrrd 4049 1  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  o R  <_  F )  -> 
( S.1 `  G )  <_  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Rcofr 6077   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   [,]cicc 10659   S.1citg1 18970   S.2citg2 18971
This theorem is referenced by:  itg2ge0  19090  itg2itg1  19091  itg2le  19094  itg2seq  19097  itg2uba  19098  itg2mulclem  19101  itg2splitlem  19103  itg2monolem1  19105  itg2i1fseq3  19112  itg2addlem  19113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977
  Copyright terms: Public domain W3C validator