MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Unicode version

Theorem itg2uba 19496
Description: Approximate version of itg2ub 19486. If  F approximately dominates  G, then  S.1 G  <_  S.2 F. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2uba.2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
itg2uba.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2uba.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itg2uba.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2uba  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 19438 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR )
43rexrd 9061 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR* )
5 itg2uba.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 itg2uba.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
7 nulmbl 19291 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  =  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
85, 6, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
9 cmmbl 19290 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  A )  e.  dom  vol )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  \  A
)  e.  dom  vol )
11 ifnot 3714 . . . . . . . 8  |-  if ( -.  x  e.  A ,  ( G `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )
12 eldif 3267 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  A ) )
1312baibr 873 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  A  <->  x  e.  ( RR  \  A ) ) )
1413ifbid 3694 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( -.  x  e.  A ,  ( G `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1511, 14syl5eqr 2427 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1615mpteq2ia 4226 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1716i1fres 19458 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  ( RR  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 )
181, 10, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 )
19 itg1cl 19438 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e.  RR )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e.  RR )
2120rexrd 9061 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e. 
RR* )
22 itg2uba.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
23 itg2cl 19485 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
2422, 23syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
25 i1ff 19429 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
261, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
27 eldifi 3406 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  y  e.  RR )
28 ffvelrn 5801 . . . . . 6  |-  ( ( G : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `  y
)  e.  RR )
2926, 27, 28syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
3029leidd 9519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  <_  ( G `  y )
)
31 eldif 3267 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  A ) )
32 eleq1 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
33 fveq2 5662 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
3432, 33ifbieq2d 3696 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) ) )
35 eqid 2381 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )
36 c0ex 9012 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
37 fvex 5676 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 y )  e. 
_V
3836, 37ifex 3734 . . . . . . . 8  |-  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) )  e.  _V
3934, 35, 38fvmpt 5739 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) ) )
40 iffalse 3683 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  0 ,  ( G `  y ) )  =  ( G `
 y ) )
4139, 40sylan9eq 2433 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4231, 41sylbi 188 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4342adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4430, 43breqtrrd 4173 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  <_  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
) )
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 19465 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) ) )
46 iftrue 3682 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  0 )
4746adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  0 )
4822ffvelrnda 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
49 elxrge0 10934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5048, 49sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5150simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
5251adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
5347, 52eqbrtrd 4167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) )
54 iffalse 3683 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
5554adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x
) )  =  ( G `  x ) )
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
5712, 56sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( G `  x
)  <_  ( F `  x ) )
5857anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  <_  ( F `  x ) )
5955, 58eqbrtrd 4167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x
) )  <_  ( F `  x )
)
6053, 59pm2.61dan 767 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) )
6160ralrimiva 2726 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) )
62 reex 9008 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
64 fvex 5676 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
6536, 64ifex 3734 . . . . . 6  |-  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  e.  _V
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  e.  _V )
67 fvex 5676 . . . . . 6  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
69 eqidd 2382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )
7022feqmptd 5712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
7163, 66, 68, 69, 70ofrfval2 6256 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) ) )
7261, 71mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  o R  <_  F )
73 itg2ub 19486 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  o R  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
7422, 18, 72, 73syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
754, 21, 24, 45, 74xrletrd 10678 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2643   _Vcvv 2893    \ cdif 3254    C_ wss 3257   ifcif 3676   class class class wbr 4147    e. cmpt 4201   dom cdm 4812   -->wf 5384   ` cfv 5388  (class class class)co 6014    o Rcofr 6237   RRcr 8916   0cc0 8917    +oocpnf 9044   RR*cxr 9046    <_ cle 9048   [,]cicc 10845   vol *covol 19220   volcvol 19221   S.1citg1 19368   S.2citg2 19369
This theorem is referenced by:  itg2lea  19497  itg2split  19502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-inf2 7523  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995  ax-addf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-disj 4118  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-ofr 6239  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-2o 6655  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-pm 6951  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-fi 7345  df-sup 7375  df-oi 7406  df-card 7753  df-cda 7975  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-q 10501  df-rp 10539  df-xneg 10636  df-xadd 10637  df-xmul 10638  df-ioo 10846  df-ico 10848  df-icc 10849  df-fz 10970  df-fzo 11060  df-fl 11123  df-seq 11245  df-exp 11304  df-hash 11540  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-sqr 11961  df-abs 11962  df-clim 12203  df-sum 12401  df-rest 13571  df-topgen 13588  df-xmet 16613  df-met 16614  df-bl 16615  df-mopn 16616  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-cmp 17366  df-ovol 19222  df-vol 19223  df-mbf 19373  df-itg1 19374  df-itg2 19375
  Copyright terms: Public domain W3C validator