MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Unicode version

Theorem itg2uba 19627
Description: Approximate version of itg2ub 19617. If  F approximately dominates  G, then  S.1 G  <_  S.2 F. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
itg2uba.2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
itg2uba.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2uba.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itg2uba.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2uba  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 19569 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR )
43rexrd 9126 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR* )
5 itg2uba.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 itg2uba.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
7 nulmbl 19422 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  =  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
85, 6, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
9 cmmbl 19421 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  A )  e.  dom  vol )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  \  A
)  e.  dom  vol )
11 ifnot 3769 . . . . . . . 8  |-  if ( -.  x  e.  A ,  ( G `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )
12 eldif 3322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  A ) )
1312baibr 873 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  A  <->  x  e.  ( RR  \  A ) ) )
1413ifbid 3749 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( -.  x  e.  A ,  ( G `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1511, 14syl5eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1615mpteq2ia 4283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1716i1fres 19589 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  ( RR  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 )
181, 10, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 )
19 itg1cl 19569 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e.  RR )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e.  RR )
2120rexrd 9126 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e. 
RR* )
22 itg2uba.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
23 itg2cl 19616 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
2422, 23syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
25 i1ff 19560 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
261, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
27 eldifi 3461 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  y  e.  RR )
28 ffvelrn 5860 . . . . . 6  |-  ( ( G : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `  y
)  e.  RR )
2926, 27, 28syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
3029leidd 9585 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  <_  ( G `  y )
)
31 eldif 3322 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  A ) )
32 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
33 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
3432, 33ifbieq2d 3751 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) ) )
35 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )
36 c0ex 9077 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
37 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 y )  e. 
_V
3836, 37ifex 3789 . . . . . . . 8  |-  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) )  e.  _V
3934, 35, 38fvmpt 5798 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) ) )
40 iffalse 3738 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  0 ,  ( G `  y ) )  =  ( G `
 y ) )
4139, 40sylan9eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4231, 41sylbi 188 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4342adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4430, 43breqtrrd 4230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  <_  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
) )
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 19596 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) ) )
46 iftrue 3737 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  0 )
4746adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  0 )
4822ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
49 elxrge0 11000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5048, 49sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5150simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
5251adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
5347, 52eqbrtrd 4224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) )
54 iffalse 3738 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
5554adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x
) )  =  ( G `  x ) )
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
5712, 56sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( G `  x
)  <_  ( F `  x ) )
5857anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  <_  ( F `  x ) )
5955, 58eqbrtrd 4224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x
) )  <_  ( F `  x )
)
6053, 59pm2.61dan 767 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) )
6160ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) )
62 reex 9073 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
64 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
6536, 64ifex 3789 . . . . . 6  |-  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  e.  _V
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  e.  _V )
67 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
69 eqidd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )
7022feqmptd 5771 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
7163, 66, 68, 69, 70ofrfval2 6315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) ) )
7261, 71mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  o R  <_  F )
73 itg2ub 19617 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  o R  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
7422, 18, 72, 73syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
754, 21, 24, 45, 74xrletrd 10744 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Rcofr 6296   RRcr 8981   0cc0 8982    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   [,]cicc 10911   vol *covol 19351   volcvol 19352   S.1citg1 19499   S.2citg2 19500
This theorem is referenced by:  itg2lea  19628  itg2split  19633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506
  Copyright terms: Public domain W3C validator