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Theorem itgadd 19716
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgadd  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgadd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 itgadd.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
7 iblmbf 19659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
9 itgadd.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
108, 9mbfmptcl 19529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
115, 10readdd 12019 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
1211itgeq2dv 19673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x )
135recld 11999 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
145iblcn 19690 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
151, 14mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
1615simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
1710recld 11999 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
1810iblcn 19690 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L ^1 ) ) )
196, 18mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e.  L ^1 ) )
2019simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e.  L ^1 )
2113, 16, 17, 20, 13, 17itgaddlem2 19715 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
2212, 21eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x ) )
235, 10imaddd 12020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
2423itgeq2dv 19673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  S. A
( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x )
255imcld 12000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
2615simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
2710imcld 12000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
2819simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e.  L ^1 )
2925, 26, 27, 28, 25, 27itgaddlem2 19715 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
3024, 29eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( B  +  C ) )  _d x  =  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )
3130oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( Im `  B
)  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
32 ax-icn 9049 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
3425, 26itgcl 19675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
3527, 28itgcl 19675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  C )  _d x  e.  CC )
3633, 34, 35adddid 9112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( Im `  B )  _d x  +  S. A ( Im `  C )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
3731, 36eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
3822, 37oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  S. A
( Re `  C
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
3913, 16itgcl 19675 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
4017, 20itgcl 19675 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  C )  _d x  e.  CC )
41 mulcl 9074 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
4232, 34, 41sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
43 mulcl 9074 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  C )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
4432, 35, 43sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x )  e.  CC )
4539, 40, 42, 44add4d 9289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  S. A ( Re `  C )  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A ( Re
`  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
4638, 45eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( B  +  C ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( B  +  C )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
47 ovex 6106 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
4847a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
494, 1, 9, 6ibladd 19712 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
5048, 49itgcnval 19691 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( B  +  C
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( B  +  C
) )  _d x ) ) )
514, 1itgcnval 19691 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
529, 6itgcnval 19691 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A ( Re `  C )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) )
5351, 52oveq12d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  +  ( S. A
( Re `  C
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  C )  _d x ) ) ) )
5446, 50, 533eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   _ici 8992    + caddc 8993    x. cmul 8995   Recre 11902   Imcim 11903  MblFncmbf 19506   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  itgsub  19717  itgfsum  19718  itgmulc2  19725  ftc1lem4  19923  itgparts  19931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562
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